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2013 Fiscal Year Annual Research Report

非可換調和振動子の数理とα行列式の表現論研究

Research Project

Project/Area Number 21340011
Research InstitutionKyushu University

Principal Investigator

若山 正人  九州大学, マス・フォア・インダストリ研究所, 教授 (40201149)

Project Period (FY) 2009-04-01 – 2014-03-31
Keywords非可換調和振動子 / ゼータ関数 / 表現論 / α行列式 / 不変式論 / 保型形式
Research Abstract

非可換調和振動子Qのスペクトルゼータ関数ζ_Q(s)の特殊値から自然に発生する数論的研究を琉球大理の木本一史とともに行った。s=2での特殊値の場合には、それがきわめて明示的な形で、保型形式・楕円曲線のモジュライに繋がることが、これまでの研究から判明していた。しかしながら、s=4 以上の偶数の場合や、3以上の奇数点の場合には、その数論的構造は大いに期待されるものの、全く不明であった。(偶数・奇数点によって異なる構造となっていることは分っていた。)今年度の研究で、s=2 の場合程、簡単に記述できる構造ではないものの、特殊値に付随する母関数が満たす微分方程式の解空間には、モジュラー群の合同部分群により統制される線形空間構造が存在している様子が、保型形式論で使われる手法を援用することで、うかがえるようになった。事実、本年度の研究において、新たにEichler積分の拡張であるResidual modular formsを定式化し、同時に周期的Eichlerコホモロジー群を定義し、その研究を行い、ζ_a(4)を完全に記述することに成功した。また、上記とは異なる母関数の保型性を発見した。α行列式から、その加群構造の特異値を観察することで定義されるリース行列式は、一般線形群の相対不変式であることが、これまでの研究で分っている。リース行列式を用いて、有限群とその部分群に対して定まる群行列式の一般化に関し、アーベル群の場合に変数の特殊化(principal specialization)を行い、木本らと一般的定理を得た。

Current Status of Research Progress
Reason

25年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

25年度が最終年度であるため、記入しない。

  • Research Products

    (12 results)

All 2014 2013 Other

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 1 results) Presentation (8 results) Remarks (2 results)

  • [Journal Article] Invariant differential operators on the Heisenberg group and Meixner-Pollaczek polynomials2013

    • Author(s)
      Jacques Faraut & Masato Wakayama
    • Journal Title

      Advances in Pure and Applied Mathematics

  • [Journal Article] Simplicity of the lowest eigenvalue of non-commutative harmonic oscillators and the Riemann scheme of a certain Heun's differential equation2013

    • Author(s)
      Masato Wakayama
    • Journal Title

      Proceedings of the Japan Academy

      Volume: 89 Pages: 69-73

    • DOI

      doi:10.3792/pjaa.89.69

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] An application of Lie theory to computer graphics via spherical harmonics2014

    • Author(s)
      Masato Wakayama
    • Organizer
      Berliner Colloquium fur wissenschaftliche Visualisierung
    • Place of Presentation
      Zuse-Institut Berlin (ZIB)
    • Year and Date
      20140228-20140228
  • [Presentation] Spectrum of non-commutative harmonic oscillators - Modular forms, representation theory and the Rabi model2013

    • Author(s)
      Masato Wakayama
    • Organizer
      colloquium
    • Place of Presentation
      Mathematical Institute, Leiden University
    • Year and Date
      20131129-20131129
  • [Presentation] Quantum Interaction Models and Number Theory2013

    • Author(s)
      Masato Wakayama
    • Organizer
      Zeta Functions in OKINAWA 2013
    • Place of Presentation
      沖縄コンベンションセンター
    • Year and Date
      20131019-20131019
  • [Presentation] Spectrum of non-commutativa harmonic oscillators-number theory,representation theory and Fuchsian equations2013

    • Author(s)
      Masato Wakayama
    • Organizer
      Mathematical Quantum Field Theory and Related Topics, RIMS
    • Place of Presentation
      Kyoto University
    • Year and Date
      20131003-20131003
  • [Presentation] Residual modular forms and curves, the quantum Rabi model, and discrete series representations from the study of spectral zeta functions of the NcHO2013

    • Author(s)
      若山正人
    • Organizer
      Geometric zeta functions and related topics
    • Place of Presentation
      Saga University
    • Year and Date
      2013-10-31
  • [Presentation] A Lie theoretic proposal on algorithms for spherical harmonic lighting2013

    • Author(s)
      若山正人
    • Organizer
      Mathematical Progress in Expressive Image Synthesis
    • Place of Presentation
      Centennial Hall Kyushu University School of Medicine, Fukuoka
    • Year and Date
      2013-10-22
  • [Presentation] Problems around NcHO2013

    • Author(s)
      若山正人
    • Organizer
      表現論がつなぐ数学
    • Place of Presentation
      ひめぎんホール別館・第20会議室
    • Year and Date
      2013-09-28
  • [Presentation] Analysis and Number Theory for Non-commutative Harmonic Oscillator2013

    • Author(s)
      若山正人
    • Organizer
      Distinguished Lecture Series
    • Place of Presentation
      Department of Mathematics, Indiana University, Bloomington
    • Year and Date
      2013-04-22
  • [Remarks] 若山正人ホームページ

    • URL

      http://imi.kyushu-u.ac.jp/~wakayama/

  • [Remarks] 九州大学研究者情報(若山正人)

    • URL

      http://hyoka.ofc.kyushu-u.ac.jp/search/details/K000521/

URL: 

Published: 2015-05-28  

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