2013 Fiscal Year Annual Research Report
ワイエルストラス表現公式の一般化と特異点をもつ曲面の理論への応用
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21340016
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
山田 光太郎 東京工業大学, 理工学研究科, 教授 (10221657)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 曲面 / 特異点 / 交叉帽子 / カスプ辺 / 双曲空間の平坦波面 |
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| Research Abstract |
3次元ユークリッド空間およびリーマン多様体への可微分写像の「交叉帽子」の微分幾何学的性質を調べた．とくに標準型を用いて特異点の微分幾何学的不変量を定義し，それらのうちいくつかは内的な不変量，またいくつかは外的な不変量であることを示した．このことを示すために，ある種の交叉帽子の等長変形を具体的に構成した．
同様の問題を3次元空間の波面に現れるジェネリックな特異点である「カスプ辺」に関して考察した．とくに標準形からみつかる微分幾何学的不変量の性質を考察し，それがカスプ辺の形状にどのように影響するかを調べるとともに，内的，すなわち誘導計量から定まる性質との関係を考察した．これは代表者らによる特異曲率の概念の深化とみなすことができる．
また，ワイエルストラス型公式から得られる曲面の一つであるミンコフスキー時空の極大曲面（特異点をもつ極大曲面；われわれの用語でいうと極大面）は「極大面」の枠に入らない曲面に崩壊することがある．一方，ミンコフスキー時空の時間的極小曲面は，関数のグラフとして表示すると，空間的極小曲面と同じ微分方程式をみたすことがわかる．この方程式（ゼロ平均曲率方程式）をみたし，空間的曲面から時間的曲面に変化するような曲面は，極大面の崩壊として現れる曲面を含む．このような例を構成し，性質を調べた．
3次元双曲空間の平坦曲面も（特異点をもつが）ワイエルストラス型表現公式が知られているクラスである．とくに弱完備な平坦波面に対して双曲的ガウス写像の値分布を調べ，像が有界となるものの存在を示した．このことは完備有界なC3の null curve の存在定理の応用として得られる．
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| Current Status of Research Progress |
Reason
25年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
25年度が最終年度であるため、記入しない。
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