2010 Fiscal Year Annual Research Report
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21340039
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| Research Institution | Meiji University |
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Principal Investigator |
砂田 利一 明治大学, 理工学部, 教授 (20022741)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
楯 辰哉 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 准教授 (00317299)
樋口 雄介 昭和大学, 教養部, 講師 (20286842)
阿原 一志 明治大学, 理工学部, 准教授 (80247147)
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| Keywords | 位相敵結晶理論 / 離散解析幾何学 / 離散的代数幾何学 / アーベル・ヤコビ写像 / 標準的実現 |
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| Research Abstract |
離散的解析幾何学の1分野として、「位相的結晶理論」(Topological Crystallography)を創始、研究を展開、その発展に努めた。位相的結晶は、有限グラフのアーベル被覆であり、従って有限グラフの1次ホモロジー群で完全に統御される。問題となるのは、有限グラフとアーベル被覆グラフの次元を固定しても理論的には無限個の可能性があることだが、ベッチ数とホモロジー群の消失部分群の「高さ」により、数え上げが可能であることを示した。さらに、位相的結晶を空間に系統的に実現する方法として、標準的実現という概念があるが、これは代数幾何学におけるアルバネーゼ写像の類似と深く関係する。特に最大アーベル被覆の場合、離散的代数幾何学と関連し、これに注目してジャコビアン、ピカール群の離散的類似を用いることにより位相的結晶の詳細な研究を行った。離散的代数幾何学は近年盛んに研究されている分野であり、まったく異なる観点からの研究は、その発展に大きく資することが期待されている。
この研究と平行して行ったのが、量子ウォークの研究である。これは1次元ディラック方程式の解の離散類似を基礎として定義される確率過程であるが、その確率密度は古典的ウォークと異なり、極めて興味深い対象である。1次元格子における確率密度の漸近的性質を明らかにしつつ、一般の位相的結晶上での定式化を提案した。この方面の研究は未だ未解明な点が多く、停留位相、大偏差など、現在様々な方法を用いて研究を進めている。
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