対数構造を用いた退化多様体のピカール多様体の幾何学

2010 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21540032
• Research Institution: Yokohama National University
• Principal Investigator: 梶原 健 横浜国立大学, 工学研究院, 准教授 (00250663)
• Keywords: 対数構造 / ピカール多様体

Research Abstract

22年度は主に,対数楕円曲線のモジュライ空間の研究,および,彩色イデアルのグレブナー扇の研究を行った.
対数ピカール多様体の構成では,マンフォードの構成にならって形式的構成から代数的構成へと進める予定である.その過程で対数構造の代数化の議論を利用するが,一般論を展開することが現段階では難しい.代数化をうまく扱うために,まず,対数楕円曲線の場合について研究をした.この研究は加藤和也氏,中山能力氏との共同研究である.対数楕円曲線のモジュライ空間では,普遍対数楕円曲線を構成し,この曲線が確かに普遍性を持つことを証明した.この方針では実際に扱う対数構造が自然なものに限られるため,代数化の議論が易しくなることがわかった.この方法は対数ピカール多様体の構成でも有用であると考えられる.
一方,対数ピカール多様体は対数アーベル多様体を連結成分に持つことが期待されるので,対数ピカール多様体の研究でも,有理凸多面体の複体である扇によって定まるモデルが重要である.この扇としてはグレブナー扇などの自然に得られる扇が重要である.実際に射影閉スキ山ムのヒルベルト概形は,このような扇で定まるトーリック多様体で記述できることが知られている.本研究では,具体的に,路や閉路グラフの彩色イデアルのグレブナー扇について調べた.路のグレブナー扇の極大錐の個数は高々カタラン数であることが証明できた.さらにカタラン数に等しいことも予想される.扇としての構造や性質などは今後の課題である.