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2011 Fiscal Year Annual Research Report

モチーフのConservativityと有限次元性予想

Research Project

Project/Area Number 21540038
Research InstitutionHiroshima University

Principal Investigator

木村 俊一  広島大学, 大学院・理学研究科, 教授 (10284150)

Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) 高橋 宣能  広島大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (60301298)
Keywordsモチーフ / 有限次元性予想 / Bloch予想
Research Abstract

本研究課題では、モチーフの有限次元性予想、およびその周辺の問題について研究を行った。平成23年度の研究で大きく進展したのは、モチビックChow級数の有理性についてである。0次元Chow多様体のモチビック級数の有理性はモチーフそのものの有限次元性とほぼ同値であり、正しいと信じられているが、1次元以上のChow多様体のモチビック級数の有理性については、2次元以上の射影空間の余次元1の場合ですら有理的でないことを本研究の中で示していたが、A^1-ホモトピー、つまりモチーフMと、MにA^1のモチーフをテンソルしたモチーフとを同一視する、という同値関係で割ると、全てのトーリック多様体のモチビックChow級数が有理的になることを証明した(Elizondo氏との共同研究)。これは全く新しい現象であり、今後の大きな飛躍へのきっかけになる可能性を秘めている。その可能性の第1として、Colliot-Thelene教授に指摘されたことだが、A^1-ホモトピーの同一視をする、ということは、1元体F_1上で点の個数を数えることにあたること。つまり、1元体上ではChow多様体という高次元化のもとでWeil予想の一般化が期待できるのである。なお、トーリック多様体は一元体F_1上で定義されることが知られている。一方、射影平面上で十分多くの一般的な点でBlow-upすると、そこでのモチビックChow級数が有理的にならないことを、最近の高橋宣能氏、黒田茂氏との共同研究で明らかにした(投稿準備中)ので、この成果はF_1上の幾何を扱っているのかもしれない。第2の可能性は、非可換モチーフを見ているのかも知れない、ということ。Chowモチーフの圏から非可換モチーフの圏への自然な射があるが、その射においてはA^1-ホモトピーは同一視されることが知られている。非可換幾何の視点からこの現象を説明することは、今後の重要な課題となる。

  • Research Products

    (8 results)

All 2012 2011

All Journal Article (3 results) (of which Peer Reviewed: 3 results) Presentation (5 results)

  • [Journal Article] Rationality of Motivic Chow series modulo A^1-homotopy2012

    • Author(s)
      Elizondo, Kimura
    • Journal Title

      Advances in Mathematics

      Volume: 230 Pages: 876-893

    • DOI

      10.1016/j.aim.2012.03.002

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Motivic zeta functions in additive monoidal categories2012

    • Author(s)
      Kimura, Kimura, Takahashi
    • Journal Title

      Journal of K-theory

      Volume: (印刷中)

    • DOI

      10.1017/is011011006jkt174

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Finite dimensional morphisms in a tensor cateogry2011

    • Author(s)
      P.L.del Angel, S.Kimura
    • Journal Title

      Journal fuer die reine und angewandte Math

      Volume: 656 Pages: 213-222

    • DOI

      10.1515/CRELLE.2011.051

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] DeterminantとPermanentに関する不等式の最良評価2012

    • Author(s)
      田端亮、木材俊一
    • Organizer
      日本数学会
    • Place of Presentation
      東京理科大学
    • Year and Date
      2012-03-28
  • [Presentation] Rationality and irrationality of motivic series2012

    • Author(s)
      Shun-ichi Kimura
    • Organizer
      Workshop on p-adic arithmetic geometry and Motives
    • Place of Presentation
      東北大学(招待講演)
    • Year and Date
      2012-01-23
  • [Presentation] Rationality and irrationality of motiyic Chow series2011

    • Author(s)
      Shun-ichi Kimura
    • Organizer
      O'Sullivan Conference
    • Place of Presentation
      オーストラリア国立大学(招待講演)
    • Year and Date
      2011-09-02
  • [Presentation] Diophantine Frobenius Problem2011

    • Author(s)
      木村俊一
    • Organizer
      広島大学代数学セミナー
    • Place of Presentation
      広島大学
    • Year and Date
      2011-05-20
  • [Presentation] Diophantine Frobenius Problem2011

    • Author(s)
      木村俊一
    • Organizer
      日大特異点セミナー
    • Place of Presentation
      日本大学(招待講演)
    • Year and Date
      2011-05-16

URL: 

Published: 2013-06-26  

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