2010 Fiscal Year Annual Research Report
射影多様体のカステルヌボー・マンフォード量とその周辺の話題についての研究
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21540044
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| Research Institution | Saga University |
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Principal Investigator |
宮崎 誓 佐賀大学, 工学系研究科, 教授 (90229831)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
市川 尚志 佐賀大学, 工学系研究科, 教授 (20201923)
寺井 樹 佐賀大学, 文化教育学部, 准教授 (90259862)
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| Keywords | Castelnuovo-Mumford / 極小自由分解 / シジジー / Buchsbaum 多様体 |
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| Research Abstract |
射影多様体は射影空間の定義方程式の零点集合であり、定義方程式の代数的性質と多様体の幾何学的性質の関連を研究しています。多項式イデアルの極小自由分解が、定義方程式の重要な代数的性質であり、Castelnuovo-Mumford正則量は極小自由分解を制御する不変量です。今年度は、Castelnuovo-Mumford正則量と次元・余次元・次数を用いた式の関連で出現する射影多様体の分類を進めました。この方面の主たる問題であるEisenbud-Goto予想を始め、代数的性質と幾何学的性質を結ぶ不等式について興味深い問題が多く残されています。特に、Buchsbaum多様体について、Castelnuovo-Mumford不変量を制御する不等式を考え、等号を満たす場合は有理線織多様体、等号の一つ下がDel Pezzo多様体に対応するという論文は掲載予定になりました。さらに、等号が二つ下であれば、デルタ種数が2の場合に対応します。等号の二つ下だけでなく、そのような分類の帰結を進行中であり、論文を準備しています。この方向とは別に、多重次数に関するCastelnuovo-Mumford正則量の研究も進めました。多重Castelnuovo-Mumford正則量は通常の正則量と同様な定義付けや基本的性質が知られています。Segre積上のベクトル束でCohen-Macaulay性以上の仮定がないと、ベクトル束は直線束の直和になりません。Castelnuovo-Mumford正則量はこれらの橋渡しの一助となる不変量であり、多重版の基本的性質の研究はこれらを推し進めています。以上のことを、九州大学の代数幾何学セミナーで研究成果を発表しながら、研究を進めています。
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