2011 Fiscal Year Annual Research Report
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21540063
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
田崎 博之 筑波大学, 数理物質系, 准教授 (30179684)
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| Keywords | 微分幾何学 / 積分幾何学 / 等質空間 / 部分多様体 / Hermite対称空間 / 実形 / 対蹠集合 |
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| Research Abstract |
コンパクト型Hermite対称空間の二つの実形の交叉は対蹠集合になるという2009年度の田中真紀子氏との共同研究の成果と、2010年度の入江博氏、酒井高司氏との共同研究の成果であるコンパクト型Hermite対称空間の二つの実形に関するFloerホモロジーの決定、二つの実形のHamilton変形の交点数に対するArnold-Givental不等式の拡張を利用して、複素二次超曲面内の実形のHamilton変形の体積の下からの評価を得た。これは複素二次超曲面内の半分の実次元を持つ部分多様体の体積に関するLeによる交叉積分公式の被積分関数である部分多様体の交点数に、部分多様体が実形のHamilton変形である場合の交点数に関するArnold-Givental不等式の拡張を適用して得られた。複素二次超曲面内の実形は安定なものと不安定なものがあるが、いずれの場合もHamilton変形の体積は実形球面め体積で下から評価できることが判明した。特に複素二次超曲面内の実形球面はHamilton変形に関して体積最小になる。実形のHamilton変形に関する体積最小性に関する今回の成果は、系列としては複素射影空間内の実射影空間につぐ基本的なものである。これは部分多様体の交叉の情報から交点数の不等式を導き、交点数の不等式を交叉積分公式に適用することで部分多様体の体積の評価が得られるという当初の研究目的と研究計画に合致した成果である。Hamilton変形に関して体積最小になるLagrange部分多様体の具体例がまだあまり知られていないため、この観点からも意義ある結果である。
上記研究の一般化を目指して始めた入江博氏、酒井高司氏との共同研究で、複素旗多様体内の実旗多様体の交叉は一般化された対蹠集合になるという成果を得た。これは複素Grassmann多様体内の実Grassmann多様体の交叉を参考にして、Lagrange Grassmann多様体U(n)/0(n)に対称空間の理論を応用して得ることができた。
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