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2010 Fiscal Year Annual Research Report

ループ群と接触幾何学による平均曲率一定曲面の大域的構成

Research Project

Project/Area Number 21540067
Research InstitutionYamagata University

Principal Investigator

井ノ口 順一  山形大学, 理学部, 准教授 (40309886)

Keywords平均曲率一定曲面 / ループ群 / 接触幾何学 / 調和写像 / 原始写像 / ツイスター構成法 / 平面曲線 / 離散曲線
Research Abstract

前年度に引き続き,Josef Dorfmeister氏・小林真平氏との共同研究を行い、3次元双曲空間内の平均曲率が一定で1未満の曲面のループ群論的構成法の改良を行った。前年度に平均曲率が0(極小曲面)であることと、ガウス写像が単位接ベクトル束への原始写像(primitive map)であることが同値であることを証明した.この成果により,極小曲面の場合は,本研究課題で研究している曲面の構成法が、「奇数次元版のツイスター構成法」とよぶべき方法であることも得ていた。今年度は平均曲率が0でない場合の構成法の改良を行った。射影幾何学や共形幾何学で用いられる「双曲空間の光円錐模型」を用いて,平均曲率が1未満で0でない一定の曲面を,曲率が-1の双曲空間から、-1とは異なるある値の双曲空間内に極小曲面として移植させることにより、「ツイスター構成法」に帰着できることが証明できた。この発見は,本研究課題における「平均曲率が1未満で一定の曲面の構成法」の仕組みを微分幾何学的に説明するものであり、他の幾何学的問題への応用可能性を示唆する。今年度に改良されたループ群論的構成法は海外・国内の極小曲面研究者の関心を惹き、スペインで開催された国際研究集会及び日本数学会秋季総合分科会(幾何学分科会)において特別講演として成果発表を行った。
平均曲率一定曲面のループ群論的構成を数値解析的観点から理解するために、曲線及び曲面の離散化を行う事が有効である。この観点から平面曲線の離散化を梶原健司氏・松浦望氏・太田泰広氏と共同で研究し、離散化された平面曲線(差分平面曲線)のτ関数による具体的表現を与えた。とくに、ソリトン解および脈動解(ブリーザー解)とよばれる差分mKdV方程式の解から得られる差分平面曲線の離散運動を記述することに成功した。この成果は4人の共著論文として発表する。

  • Research Products

    (7 results)

All 2011 2010 Other

All Journal Article (2 results) (of which Peer Reviewed: 2 results) Presentation (4 results) Book (1 results)

  • [Journal Article] On three-dimensional real hypersurfaces in complex space forms2010

    • Author(s)
      J.T.Cho, T.Hamada, J.Inoguchi
    • Journal Title

      Tokyo Journal of Mathematics

      Volume: 33 Pages: 31-47

    • Peer Reviewed
  • [Journal Article] Motion and Backlund transformations of plane discrete curves

    • Author(s)
      J.Inoguchi, K.Kajiwara, N.Matsuura, Y.Ohta
    • Journal Title

      Kyushu Journal of Mathematics

      Volume: (掲載決定)

    • Peer Reviewed
  • [Presentation] Constant mean curvature surfaces in hyperbolic 3-space2011

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Organizer
      日本・スペイン微分幾何学研究集会特別講演
    • Place of Presentation
      スペイングラナダ大学(招待講演)
    • Year and Date
      20110214-20110216
  • [Presentation] 3次元等質空間の微分幾何1, 22010

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Organizer
      広島幾何学研究集会特別講演
    • Place of Presentation
      広島大学(招待講演)
    • Year and Date
      2010-10-08
  • [Presentation] 3次元双曲空間の平均曲率一定曲面2010

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Organizer
      日本数学会秋季総合分科会幾何学分科会特別講演
    • Place of Presentation
      名古屋大学(招待講演)
    • Year and Date
      2010-09-23
  • [Presentation] Twistorial construction of hyperbolic minimal surfaces2010

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Organizer
      国際会議「第6回中日友好幾何学研究集会」
    • Place of Presentation
      中国西北大学(招待講演)
    • Year and Date
      2010-09-05
  • [Book] リッカチのひ・み・つ2010

    • Author(s)
      井ノ口順一
    • Total Pages
      256
    • Publisher
      日本評論社

URL: 

Published: 2012-07-19  

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