2009 Fiscal Year Annual Research Report
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21540068
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| Research Institution | Chiba University |
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Principal Investigator |
丸山 研一 Chiba University, 教育学部, 教授 (70173961)
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| Keywords | ホモトピー論 / ホモトピー同値 / 自己同型群 |
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| Research Abstract |
研究の目的は空間の対称性概念を押し広げ、ホモトピー論を中心とする位相幾何学の枠組みで捉え理解することである。本年度は3年間の研究期間の初年度であるため、研究の道筋を整えるために研究活動の多くを費やした。
具体的な研究対象の一つである自己ホモトピー同値群、即ちホモピー圏での自己同型群については、研究の創始者の一人であるアルコビッツ教授(ダートマス大学(米))を訪問し議論を行うことが出来た。その中でゴットリープ群と呼ばれる概念についての一つの結果を得た。ゴットリープ群はホモトピー同値群とも深い関係めある概念で、近年多くの研究者を行っている。今回はこの群の解明にアルコビッツ教授による古典的なある結果が有効に利用できることが分かって来た。現在論文を投稿準備中である更に大嶋秀明教授(茨城大)との議論により、ホモトピー同値写像の作る写像空間の高次のホモトピー群についてのいくつかの事柄を知ることができた。
なお、上記2名はいづれも研究実施計画で訪問先に挙げた研究者である。
他方、群論との関係で興味深い結果を得つつある。代数学では良く知られてた定理でTits alternativeと呼ばれる定理がある。こり定理を応用すると自己ホモトピー同値群の複雑さを大まかに知ることができることが分かった。特に、自己ホモトピー同値群の階数(rank)が有限となるための必要十分条件は群がvirtually polycyclic群であることなどが分かった。結果は現在雑誌に投稿中である。
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