2011 Fiscal Year Annual Research Report
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21540078
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
葉廣 和夫 京都大学, 数理解析研究所, 准教授 (80346064)
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| Keywords | トポロジー / 多様体 / 埋め込み / 基本群 / 量子基本群 / 量子表現空間 / van Kampen定理 / 2重圏 |
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| Research Abstract |
当該年度は残念ながら、研究成果を論文の形で発表することはできなかったが、以下の研究を行い、その一部については研究集会などの場で発表を行った。これらの結果についての論文は準備中である。
1.前年度に引き続き、量子基本群と呼ばれる3次元多様体の不変量についての研究を行った。量子基本群は、3次元多様体の基本群の精密化であり、3次元多様体と埋め込みのイソトピー類の圏Eから、ハンドルボディを対象とするEの充満部分圏H上の(集合値の)前層の圏Presheaf(H)への関手P:E→Presheaf(H)として定義される。量子基本群に対するvan Kampen定理を利用して、Pがmonoidal関手であること(ここでPresheaf(E)にはDay convolutionによるmonoidal構造を入れる)を証明した。また、圏Eの対象(つまり3次元多様体)を部分圏Hにおける射の対に対するcoequalizerとして表すことが、「ほぼ」できろことを証明した。この応用として、3次元多様体Mの量子表現空間をMのHeegaard分解から求める代数的な公式を得ることができる。
2.多様体とその埋め込みの圏と、コボルディズムの圏は、多様体を圏論的な枠組みで研究するための基本的な道具であるといえるが、これらの概念をつぎのように統合した。つまり、d次元多様体を対象、d次元多様体の埋め込みを垂直射、(d+1)次元コボルディズムを水平射、(d+1)次元コボルディズムの埋め込みのイソトピー類を2-射とする2重圏EC_dを定義した。この2重圏EC_dが、framed bicategory構造を持つことを証明した。d=2の場合に、量子表現空間を使って、2重圏ECから、代数/代数準同型/両側加群/両側加群準同型の2重圏への2重関手を構成した。
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