| Research Abstract |
「自然数nに対して,どんなグラフがn頂点の完全グラフKnをマイナーとして持つか.」これは,与えられたグラフのある種の稠密度を測る問題であり,たいへん基本的かつ重要な問いである.本問題は,1943年にHadwigerにより提起され,n≧5の場合が解決された.しかしながら,グラフマイナー理論全盛の現在に至っても,n≧6の場合は未解決である.そして,本研究は,この問題について,グラフの曲面への埋め込み可能性を絡めるとどのような事実が導けるかをという問題に取り組んだ.昨年度は既約三角形分割の完全リストをもとに,クラインの壷,ダブルトーラス,種数3,4の向き付け不可能曲面のK6マイナーを持つ三角形分割を構成的に特徴付けることに成功したのだが,本年度はそれらに関する進展は得られなかった.
しかしながら,与えられた曲面上のグラフの中のK_6マイナーを探すための道具となる「グラフの向き付け」から,トーラス上の四角形分割のある種の分解定理を証明することに成功し,トーラス上の2部グラフ的四角形分割は,その放射状グラフを考えると,それがハミルトン閉路を持つことを証明することに成功した.これは,長年未解決である「Nash-Williamの予想(トーラス的4-連結グラフはハミルトン閉路を持つ)」の部分的解決に対応する.
一方,そこで考えたトーラス上の2部グラフ的四角形分割の分解定理から,トーラス上の2部グラフは5ページの本型埋め込みを持つことを証明することができた.このことは,これまで停滞気味だった位相幾何学的条件により与えられたグラフの本型埋め込みに導けるページ数についての研究を再開するものであり,たいへん意味がある結果であるといえる.
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