2009 Fiscal Year Annual Research Report
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21540145
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| Research Institution | Tokai University |
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Principal Investigator |
占部 正承 Tokai University, 清水教養教育センター, 教授 (30256177)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
藤井 信彦 東海大学, 清水教養教育センター, 教授 (60228955)
秋山 正寿 東海大学, 海洋学部, 教授 (50246146)
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| Keywords | 応用数学 / 組合せ論 / 離散幾何学 |
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| Research Abstract |
「有限点集合に存在する凸体の離散幾何学的考察」について、2009年度は以下の進展をみた。
1.内部に点を含まない凸k角形の存在性:1975年、P.Erdosは次の問題を提示した「3以上の任意の自然数kに対して、次の条件をみたすX(k)が存在するか;平面上の一般の位置(どの3点も同一直線上にない)にある少なくともX(k)個の点からなる任意の配置には、与えられた点を内包しない凸k角形の頂点に位置するk点が必ず存在する」。現在この問題はk≠6に対してすべて解決され、k=6の場合については「有限である」事が2006年に証明された。しかしk=6の場合についての正解は未だ決定されておらず、この20年間に行われた研究は、コンピュータを使って題意をみたさない配置を決定する事が中心であった。すなわち、内部に点を含まない凸6角形が存在しない配置を見つける事である。具体的には、1985年D.Avis氏とD.Rappaport氏が初めてその配置を決定するコンピュータ・プログラムを開発し、その後この方法がJ.O'Rourke氏を中心とする研究グループにより拡張され、現在のレコードは2003年にM.H.Overmars氏によって発見された29点の配置がある。我々はAvis&Rappaportのプログラムを現在解析中であり、2009年度は設備備品により購入した高速コンピュータによる実験を一部開始した。将来的には、この値を増加させると共に、新しいプログラムの開発を試みたいと考えている。
2.与えられた点を内部に含まない、互いに素な凸多角形の存在性:この問題は「点数の少ない配置に対してどのような多角形が存在するか」を考察したものである。この問題に関して、新たな結果を得たので、東海大学の研究集会で講演した。また、与えられた条件「互いに素」を緩和した問題をA.Dumitrescuより提案され、共同研究を始めた。自明でない結果を得たので、茨城大学の研究集会で講演した。
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