2012 Fiscal Year Annual Research Report
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21540176
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
上田 哲生 京都大学, 理学(系)研究科(研究院), 教授 (10127053)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 複素力学系 / ファトゥ集合 / 分岐点 / 放物型不動点 / インプロージョン |
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| Research Abstract |
一般次元の複素力学系の諸問題を，主として多変数複素解析学の立場から解明することを目的として研究を行った．今年度は複素２次元正則写像の半放物型不動点の構造とその局所理論について研究を進展させた．その概要は以下の通りである．
半放物型不動点が摂動によって２つの鞍型不動点の組に分裂するとき，そのジュリア集合のインプロ―ジョンの現象（パラメータに関する不連続性）を解明した．この状況を記述するために，まず半放物型不動点（固有値として１と絶対値が１より小なる複素数をもつ）の構造を明らかにし，推移写像 (transition map)を定義する．これは，写像の吸引部分から反発部分（漸近曲線）への写像である．さらに推移写像により定まる力学系に関して，ジュリア-ラヴォース集合を定義する．半放物型不動点の摂動として得られる写像の多数回の反復合成が，もとの写像の推移写像によって近似されることを用いて，摂動された写像に対するジュリア集合がジュリア-ラヴォース集合によって近似されることを示す．主結果として，半放物（半吸引）型エノン写像の摂動について，ジュリア集合，充填ジュリア集合はパラメータに関して不連続であることを示した．一方，逆写像に関するジュリア集合，充填ジュリア集合はパラメータに関して連続である．
この結果は共著論文 "Parabolic bifurcations in complex dimension 2" (E.Bedford, J.Smillie, T.Ueda) にまとめられた（投稿中，arXiv:1208.2577)．また，2012年6月 Holomorphic Dynamics Workshop in Banff における講演 "Semi-parabolic implosion" でこの結果の概要を発表した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
半放物型不動点のインプロージョンについての一定の成果を得ることができた．未達成の部分もあるが，最も重要な主題については進展しているということができる．
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| Strategy for Future Research Activity |
研究課題の目的を達成するために，今後は特に次のような点について研究を進める．
(1) 射影空間上の正則写像については，その分岐点の軌道が代数的となる場合はファトゥ集合の構造がある程度知られているが，より一般の超吸引不動点を含む場合および分岐点軌道が空間内で稠密でない場合についてファトゥ集合の構造を解明する．
(2) 半放物型不動点から摂動によって吸引・鞍型不動点の組が生ずる場合，半放物型不動点のファトゥ座標や漸近曲線が，吸引・鞍型不動点の線形化座標・不安定多様体の，ある種の極限として与えられることが予想される．この点を明らかにし，さらに大域的なエノン写像族の解明に応用する．
(3) 半放物型不動点の内在的特徴づけは，吸引部分での線形化座標と，反発部分すなわち漸近曲線の貼り合わせのデータによって部分的な記述が与えられている．これを完全なものとするためには，不動点の近傍を覆う２つの領域の上に標準化座標を定めて，その間の貼り合わせのデータを記述することが必要である．すなわち，１変数の場合の Ecalle-Voronin の理論の高次元化を目指す．
(4) 吸引不動点をもつ写像族について，その標準化座標がパラメータに関してどのように依存するかを研究する．固有値の間に共鳴がある場合には困難を生ずるが，エノン写像族の場合にも基本的な問題である．
この研究の推進のために，国内で継続的にセミナーを行うとともに，国内外の研究集会に出席し，研究連絡を行う．また適当な時期に海外研究者(E.Bedford 及び J.Smillie)との共同研究を行う．
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Research Products
(1 results)
