2009 Fiscal Year Annual Research Report
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21540210
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
WILLOX Ralph The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 准教授 (20361610)
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| Keywords | 可積分系 / セルオートマトン / 超離散系 / 離散系 |
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| Research Abstract |
本研究の目標は、超離散系として記述できるセルオートマトンの解を系統的に考察するための手法を打ち立てることである。特に、超離散可積分系を付随のDarboux変換と共に構成するための手法を打ち立て、その手法によって超離散可積分系の厳密解を生成すること及び超離散可積分系に対応するYang-Baxter写像(Yang-Baxter方程式の集合論的な解)の代数的な構造を解明し、そのYang-Baxter写像の対称構造と幾何crystal理論を結びつけることを目的とする。また、超離散系に厳密解として記述できない現象が現れる場合、その現象と普段に離散系や連続系における現象との相違点をコンピュータ・シミュレーションによって明確にする予定である。
本年度は、このプログラムに関して以下の具体的な研究成果を得た。
1.離散ソリトン系の超離散化可能な表現を得るための構成法を考案し、この方法により、B型離散KP階層に対応するYang-Baxter写像を構成した。特に、このYang-Baxter写像の超離散極限をとることにより、$A_2^{(2)}$型と$A_1^{(1)}$型のcombinatorial Rによる時間発展を結合させるソリトン・セルオートマトンが得られた。
2.離散パンルヴェ方程式におけるfolding変換を用いて、可積分な2階非線形差分方程式のプロトタイプであるQRT写像と違って、biquadraticな不変量ではなく、高次不変量を持つ可積分な2階非線形差分方程式の新しい構成方法を提案した。この結果を発表する論文は現在投稿中である。
3.周期係数の不変量を持つ2階非線形差分方程式を構成し、QRT写像の拡張を得ることができた。さらに、不変量が任意の周期を持つような有理写像の存在を示し、その写像の楕円関数解を得た。この結果を発表する論文は現在投稿中である。
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