微分方程式の力学系的研究における幾何学的および位相的方法の研究

2013 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21540221
• Research Institution: Kyushu University
• Principal Investigator: 新居 俊作 九州大学, 数理(科)学研究科(研究院), 准教授 (50282421)
• Project Period (FY): 2009-04-01 – 2014-03-31
• Keywords: Stability Index / 幾何学的方法 / 分岐 / 相転移

Research Abstract

(1)作用素のH_2理論：有限次元 Stability Index は無限区間 (-∞,+∞) で定義されたさ要素に対して構成された後、境界条件を持つ有限区間、周期境界条件で定義された作用素にその対象が拡張された。本研究でも無限次元 Stability Index は最初に無限帯状領域 (-∞,+∞)×Ω (Ω は有限次元ユークリッド空間の有界領域) に対して構成された。この Index の他の設定への拡張の可能性を探り、具体的な例における知見の蓄積を進めた。
(2)幾何学的手法による分岐解析：申請者によって三十結節点をもつ曲率流方程式において、幾何学的な方法によって典型的な分岐と同様の現象が観察されることが示されているのだが、更に様々な具体例においてどの様な分岐現象が起きるかについての知見の集積を図ると共に、具体例の解析から一歩進んで一般論の構築を目指すべく分岐現象の幾何学的な特徴付けの数学的定式化の方法を探った。
(3)相転移現象の幾何学的起源：相転移の問題を幾何学的に解釈する為に、先ず格子上で与えられる十分一般的な相互作用のクラスについて、その相互作用から決まるポテンシャル関数がモース関数になることを示した。更に、φ^4モデルと呼ばれる具体的な系において、有限サイズでは等エネルギー曲面が特異点を持たずその幾何学的な構造は不変であるが、サイズを無限大にする極限における「漸近的な連結性の崩れ」の概念の定式化により相転移を説明出来ることが明らかになった。

Current Status of Research Progress

Reason

25年度が最終年度であるため、記入しない。

Strategy for Future Research Activity

25年度が最終年度であるため、記入しない。