2012 Fiscal Year Annual Research Report
楕円量子群の自由場表現による頂点作用素・Ｔ－Ｑ作用素の解析
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21540228
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| Research Institution | Yamagata University |
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Principal Investigator |
小島 武夫 山形大学, 理工学研究科, 准教授 (80307800)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2014-03-31
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| Keywords | 可解模型 / 量子群 / 超対称性 / スピン鎖 / 境界条件 / Correlation function / Boundary state / 自由場表現 |
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| Research Abstract |
（１）量子超対称性Uq(sl＾(M|N))の１次元スピン鎖を開境界条件において代数解析的な方法で考察した。境界条件はBoundary Yang-Baxter方程式の対角解で与える。Vertex operator の自由場表現を活用することで、Boundary state の自由場表現を構成し、Hamiltonianの対角化を行なった。今までに代数解析的な方法で考察した対称性（Uq(sl_N＾),Uq(A_2＾{(2)})）においては、Vertex operator の自由場表現は全て”単項”で与えられ、Boundary state の自由場表現も”単項”で構成できた。Uq(sl(M|N)＾)のVertex operator は”和”で与えられる。それにも拘らずBoundary state の自由場表現を”単項”で構成できた。他の対称性への拡張に期待の持てる結果である。この結果はJournal of Mathematical Physicsに出版した。
（２）量子群Uq(sl_2＾)対称性の１次元スピン鎖を開境界条件において代数解析的な方法で考察した。境界条件はBoundary Yang-Baxter方程式の上（下）半三角解で定める。これは対角境界条件の一般化になる。この模型のBoundary stateは対角境界条件のBoundary stateの変形で構成できることをP.Baseilhac, S.Belliard が示しており、この方法でdual Boundary state を構成し、Correlation functionsを計算してみたところ、特別なCorrelation functionはdiagonalなときのそれと完全に一致することが分かった。現在論文原稿を準備中（P.Baseilhacとの共著）。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
当初想定していなかった単純明快な結果が得られた。超対称性Uq(sl(M|N)＾)の開境界１次元スピン鎖のBoundary stateが単項で書けるという結果は、他の量子アフィン代数Uq(g)へのBoundary stateの自由場表現の一般化に、楽観的な期待を抱かせるものである。量子群Uq(sl_2＾)の上半三角境界条件のCorrelation functionの特別なものは対角境界条件のCorrelation function と一致するという結果も想定外の単純明快なものであった。開境界可積分模型を理論物理学者の従来の方法（Bethe ansatz）で考察している３名の研究者にこの結果を伝えたところ、大変驚き、Bethe ansatz で同様の結果を導くのは不可能に近いとのコメントでした。可積分系における代数解析的方法の優位性を示す好例になったと考えています。
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| Strategy for Future Research Activity |
（１）これまでの研究により開境界模型のBoundary state は当初予想していたより、単純明快な自由場表現で書ける可能性が高まった。例えば、超対称性Uq(sl(M|N)＾)のVertex operator と dual Vertex operatorの自由場表現の積分表示は構造がかなり異なるにも拘わらず、dual Boundary state の表示自体は Boundary stateと類似のものであると予想される。また一般のアフィン量子群Uq(g)の場合もA型と類似の構造から単項の式が決定され、これが十分性を満たすことが予想される。より積極的にこの可能性を追求していきたい。
（２）楕円量子群Bqr(B_N＾{(1)})のVertex operatorの積分表示の構成に関しては、N=1の場合に単項で書けるとの仮定の下に積分表示を構成して証明を与えたが、Ｎが２以上の場合には、Vertex operatorが単項で書けるとの仮定の下で必要条件から導いた予想式は十分性を満たさないことが結論付けられた。今後、和の形を仮定して構成することにする。
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