2009 Fiscal Year Annual Research Report

相対的p進コホモロジー,ホモトピー及び過収束アイソクリスタルの研究

Research Project

Project/Area Number	21740003
Research Institution	The University of Tokyo
Principal Investigator	志甫淳 The University of Tokyo, 大学院・数理科学研究科, 准教授 (30292204)
Keywords	過収束アイソクリスタル / 対数的構造 / p進微分方程式 / p進解析 / p進非リュービル数
Research Abstract	本研究の目的はp進数論幾何学において重要な対象である標数p>0の代数多様体の相対的リジッドコホモロジーおよびその係数である過収束アイソクリスタルの性質を詳しく調べることである.今年度は過収束アイソクリスタルの対数的延長可能性およびp進微分方程式の過収束性について詳しく調べ,以下に述べる結果を得た. 1.Xを標数p>0の体k上の平滑な良いコンパクト化をもつ代数多様体とし,Σを任意の異なる2元の差が非整数かつp進非リュービル的であるようなp進整数環の部分集合とする.このとき,以前の研究において,X上のΣ冪単モノドロミーを持つ過収束アイソクリスタルという概念を定義し,それがXのコンパクト化へ対数的でかつ指数がΣに入るように一意的に延長されることを証明していた.今年度はX上の過収束アイソクリスタルEがΣ冪単モノドロミーを持つには任意の曲線Cからの良い局所閉埋入に対してEのCへの制限がC上の過収束アイソクリスタルとしてΣ幕単モノドロミーをもつことが必要充分であるという「曲線切断による判定条件」をkの濃度が非可算であるという条件下で証明した. 2.平滑なp進形式スキームに対応するp進解析空間あるいはp進体上の代数多様体上の可積分接続の過収束性に対する同様の「曲線切断による判定条件」を証明した. 両者の証明の鍵はp進微分方程式におけるクリストル・メブク理論,ケドラヤ・シャオの結果および巧みなp進解析的および幾何的議論である.この結果は高次元代数多様体上のp進微分方程式および過収束アイソクリスタルを曲線上の場合に帰着して研究するのに役立つことが期待される.上記2つの結果を論文に纏め投稿した.また上記1で述べた以前の研究に関しても論文を改稿し投稿した.