代数多様体の高さのアラケロフ幾何的視点による研究とその応用

2010 Fiscal Year Annual Research Report

• Project/Area Number: 21740012
• Research Institution: Kyoto University
• Principal Investigator: 山木 壱彦 京都大学, 高等教育研究開発推進機構, 准教授 (80402973)
• Keywords: 代数幾何 / 高さ / 有理点 / 非アルキメデス的幾何

Research Abstract

大域的な体の上で定義された代数多様体の算術的性質を研究するに当たって、その定義体の素点を選んでそこでのある種の「標準測度」を研究することは、一つの重要な切り口となっており、実際、算術的力学系の研究においては大きな成果があがっている。本年度は、私はアーベル多様体の閉部分多様体の標準測度について、非アルキメデス的素点におけるその構造を研究した。その具体的な内容について述べておく。標準測度をトロピカル化したものは、単体上に台を持つ相対ルベーグ測度であることはグブラーにより示されている。その台として現れる単体の次元を考察し、実際その次元をどの程度したから評価できるのか、というのが今回の具体的成果である。この成果によって、かつてアルキメデス付値における標準測度を利用して得られた結果、特にアーベル多様体におけるボゴモロフ予想の解決、と類似の議論が一部可能となり、実際、現時点では未解決である函数体上のボゴモロフ予想の部分的解決がえられた。これはこの研究成果の大きな意義である。さて、その部分的解決は、どのような場合に類似の証明が機能する程度に標準測度が豊富になるのかを解明し、その条件を明確に記述することに成功したことが鍵である。その成功の中心的なアイデアが、「部分多様体のアーベル次元」という概念の定式化である。この「アーベル次元」を使うことにより、グブラーは標準測度について更なる研究を行いうなど、本研究成果は他の研究者にも重要なアイデアを供給するものとなっている。