2012 Fiscal Year Annual Research Report
代数多様体の高さのアラケロフ幾何的視点による研究とその応用
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21740012
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山木 壱彦 京都大学, 高等教育研究開発推進機構, 准教授 (80402973)
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| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2013-03-31
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| Keywords | ボゴモロフ予想 / 非アルキメデス的幾何 / 標準測度 / アラケロフ幾何 / 高さ |
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| Research Abstract |
アラケロフ幾何において、代数多様体をアルキメデス素点上で見ることによって得られる複素解析空間を研究してその結果を算術的課題に適用することはしばしば起こる。本研究課題での重要な側面として、そのな視点を非アルキメデス的素点に着目しておこなうこと、つまり非アルキメデス的素点で局所化してえられる解析的状況を見つめることによって、代数多様体の点の高さにまつわる現象を詳らかにすることが挙げられる。当該年度の具体的な研究対象及び成果として、幾何的ボゴモロフ予想と呼ばれる問題の進展があるが、これはまさに、上で述べた「素点における解析的状況」を算術にフィードバックしてえられた結果であり、本研究課題の重要な側面を体現した結果である。ここで述べているアーベル多様体に対するボゴモロフ予想とは、閉部分多様体は「特殊な」部分多様体でない限り、標準的高さの小さい点を稠密に持つことはないという主張である。
当該年度において、本研究者は非アルキメデス的素点におけるこの標準測度の構造を詳細に研究した。その応用として、アルキメデス的素点を持たない枠組みである関数体上のアーベル多様体に対するボゴモロフ予想（幾何的ボゴモロフ予想）の研究を進展させたのである。これは、代数多様体における算術的問題を解決するために、非アルキメデス的素点における解析を用いて成果をだそうという近年の大きな流れにおいて、具体的な成果となっており、今後の非アルキメデス的素点の研究の算術的応用において、一つの指針を与えうるものである。本課題の研究計画に照らし、十分な到達点に達しているものと考えている。
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| Current Status of Research Progress |
Reason
24年度が最終年度であるため、記入しない。
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| Strategy for Future Research Activity |
24年度が最終年度であるため、記入しない。
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