2009 Fiscal Year Annual Research Report
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21740037
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| Research Institution | Utsunomiya University |
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Principal Investigator |
保坂 哲也 Utsunomiya University, 教育学部, 准教授 (50344908)
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| Keywords | CAT(0)空間 / CAT(0)群 / Coxeter群 / Davis複体 / 境界 / asymptotic次元 / Higson corona / 次元 |
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| Research Abstract |
非正曲率空間(CAT(0)空間)と「境界」とよばれる一般に非常に複雑な空間、および、CAT(0)空間に幾何学的に(ココンパクト、等長的、離散的に)作用するCAT(0)群とよばれる群の研究を行った。また、その中でも特にCoxeter群とDavis複体の研究を中心に行っている。
これまでに、一般に複雑な構造をもつCAT(0)群の境界に対して、その複雑さを捕えるために、力学系の概念である「極小性」と「撹拌集合」の概念を導入し、研究成果を得ている。今回は更に、Ballmannの"rank-one isometry"に関する研究成果を用いて、Caprace-FujiwaraのCoxeter群のDavis複体のrank-one isometryに関する結果から、Coxeter群が作用するCAT(0)空間の境界が位相的にフラクタルのような構造をもつ必要十分条件を得た。
あるCAT(0)群が2つのCAT(0)空間に幾何学的に作用しているとき、その2つのCAT(0)空間の境界は、一般には同相にならないことがCroke-Kleinerによって示されている。また、群作用から得られる自然なquasi-isometryが連続的に2つの境界の問の写像を一般には導かないこともBowers-Ruaneの例により知られている。本研究では、Bowers-Ruaneの例を考察し、2つの境界の間に群作用を保存する同相写像を得るための条件について研究を進展させている。
また、広島工業大学の知念直紹氏との共同研究により、CAT(0)空間およびCAT(0)群のasymptotic次元、Higson coronaの次元、および、境界の次元の間の関係について、研究を進展させている。
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