2011 Fiscal Year Annual Research Report
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21740041
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| Research Institution | Tokyo Institute of Technology |
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Principal Investigator |
KALMAN Tamas 東京工業大学, グローバルエッジ研究院, テニュア・トラック助教 (00534041)
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| Keywords | ホモロジー / 結び目 / ハイパーグラフ / 接触構造 |
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| Research Abstract |
2011年度は、低次元トポロジーの中でもKhovanov-Rozansky homology(KhR)と呼ばれる強い結び目不変量の自然記述を探した。この理論とOzsvath and Szabo's Heegaard Floer homology(HF)を含む枠組みについて、研究上での一定の成果を上げた。代数学combinatoricsについても重要な解明をした。
さらに、Lattice point arrangementsとハイパーグラフの多項式不変量の新たな理論を通じて、KhRとHFの連結を見つけ出した。これについて、長編論文を執筆し、国際学会でも何度か発表を行った。まだ残されている重要な問題については、MITのAlexander Postnikov教授との共同研究を行って解明を試みた。
また、Combinatorial理論とフロアホモロジーとの関連に関しては、、ケンブリッジ大学のAndras Juhasz氏とJacob Rasmussen氏との共著論文で論じた。KhRとの関連については東工大の村上斉氏との共同研究で解明しようとした。
加えて、多項式に投影されるlattice多面体を見つけるという進展もあった。これがOzsvath-Szaboタイプの連鎖複合へのヒントとなり、恣意的連結にとってKhRを計算することになるであろうことから、村上氏とコロンビア大学のDylan Thurston氏とも今なお研究を続けているところである。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
研究結果は今までの当該分野の理解をさらに深めることになると同時に、Jones and Homfly多項式を持つが未だ知られていない性質についても証明する糸口となるであろうことから、順調に進展していると言える。
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| Strategy for Future Research Activity |
最近、alternating knotsのAlexander多項式に関するFox予想の証明に向けて重要な一歩を踏み出した。ここには多項式に投影する多面体の発見も含まれる。Juhasz and Rasmussenによる研究結果を使うと、多面体はsutured manifoldのsutured Floer homologyとしても理解できる。このsutured manifoldの構成はalternating knotsではないものに一般化される。Sutured Floerホモロジーの結果はHomfly多項式にも密に関連していると予想している。
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