2012 Fiscal Year Annual Research Report
非線形方程式の解法による行列の対角化法に関する研究
| Project/Area Number |
21740086
|
|---|
| Research Institution | Doshisha University |
|---|
Principal Investigator |
近藤 弘一 同志社大学, 理工学部, 准教授 (30314397)
|
|---|
| Project Period (FY) |
2009-04-01 – 2013-03-31
|
| Keywords | 応用数学 / 数理工学 / アルゴリズム / 非線形数値計算 / 非線形解析 / 固有値分解 / 特異値分解 / ニュートン法 |
|---|
| Research Abstract |
本研究課題では，固有値分解および特異値分解を非線形方程式の求解問題に置き換え，これをニュートン型反復法により解くことで，既存のアルゴリズムとは異なる新たな数値的特性をもったアルゴリズムを開発することが目的である．固有値分解および特異値分解の固有ベクトルおよび特異ベクトルはノルムの任意性をもつ．通常はノルムを１とする制約条件を加え，ベクトルを単位超球面上に制約する場合が多い．本課題では超平面上への制約を考える．ノルムの大きさは任意であるから超平面の法線ベクトルも任意に選ぶことができるため，これを制御パラメータとして利用する．この法線ベクトルを既得の固有ベクトルから生成される部分空間の直交補空間より選定する．これにより，すべての固有ベクトルおよび特異ベクトルを求めるアルゴリズムを定式化した．定式化したアルゴリズムを超平面制約法と名付けた．加えて，これらのアルゴリズムに関して基礎的な理論証明を与えた．ニュートン法で現れるヤコビ行列の正則性，極限近傍での局所２次収束性，法線ベクトルの選定によりすべての固有および特異ベクトルを得る求解性を示した．これらの定理により提案アルゴリズムの有用性が担保される．さらには基礎理論の発展のため，ニュートン法の離散力学系としての性質を調べた．Kantrovichの定理を援用した丸め誤差項付きニュートン法に関する収束定理に関する発表を行った．一般的な固有値計算法との比較のためqdアルゴリズムの力学系としての性質を調べた．結果として任意の初期値において特に重複固有値をもつ非対称行列の場合における収束定理に関して発表を行った．ニュートン法の漸化式からなる力学系は初期値およびパラメータによりその挙動は大きく変化する．パラメータによらない一般解の表現を開発しその挙動の解析方法を示した．
|
| Current Status of Research Progress |
Reason
24年度が最終年度であるため、記入しない。
|
| Strategy for Future Research Activity |
24年度が最終年度であるため、記入しない。
|
