2010 Fiscal Year Annual Research Report
非線形分散型方程式の解の長時間挙動と特異極限について
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21740122
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| Research Institution | Tohoku University |
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Principal Investigator |
瀬片 純市 東北大学, 大学院・理学研究科, 准教授 (90432822)
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| Keywords | 関数方程式論 / 数理物理学 / 漸近解析 / 調和解析学 / 流体 |
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| Research Abstract |
平成22年度は以下の2つの問題について研究を行った。
1.シュレディンガー-コルテベッグッドブリース連立系の半古典近似問題
長波と短波、2つの波の相互作用を記述するシュレディンガー-コルテベッグッドブリース連立系に対し、半古典近似問題と呼ばれる、方程式に含まれるあるパラメータを動かしたときの解の挙動に関する問題について考察した。解の挙動を調べるため、方程式にMadelung変換とよばれる未知関数の変換を施すがこの変換により、ある非線形分散型-双曲型連立方程式が現れる。本年度はこの非線形分散型-双曲型連立方程式の可解性について考察を行った。
2.高階非線形シュレディンガー型方程式の周期境界値問題
渦糸運動の高次近似モデルとして現れる4階非線形シュレディンガー型方程式は、通常の非線形シュレディンガー方程式同様、定在波解と呼ばれる特殊解を持つ。定在解の安定性を調べる最初の段階として4階非線形シュレディンガー型方程式の適切性(解の存在、一意性、初期値連続依存性)を調べる必要がある。前年度までにこの方程式のコーシー問題の適切性を調べたが、本年度は周期境界条件下における適切性について考察した。この方程式は非線形項に微分項を含むため、通常のエネルギー法を用いることができないという問題を生じる。コーシー岡題を解く際には、加藤の平滑化効果と呼ばれる解の持つ正則化効果を利用することによりこの困難を克服したが、周期境界条件下ではこのような解の平滑化効果はない。本研究では通常用いるエネルギーに補正項を加えるというアプローチにより方程式の可解性を示した。
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