2010 Fiscal Year Annual Research Report
熱水力学に現れる自由境界問題に対する解の制約条件を含む非線形発展方程式の可解性
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21740130
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| Research Institution | Kyoto University of Education |
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Principal Investigator |
深尾 武史 京都教育大学, 教育学部, 准教授 (00390469)
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| Keywords | 非線形発展方程式 / 障害物問題 / 仮似変分不等式 / ナヴィエ・ストークス方程式 |
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| Research Abstract |
熱水力学に現れる自由境界問題として、未知関数によって固体液体領域が決定される数理モデルの偏微分方程式の可解性を考察することが本研究の目的である。偏微分方程式における弱解の概念により方程式の解釈は広がり、複雑な現象を偏微分方程式で記述することが可能になるが、非線形性を伴うことにより古典解としての滑らかさを証明することが難しい場合がある。また、液体領域が未知関数によって決定される場合、領域の滑らかさが数学的に一つの問題となる。
流速にいくつかの制約条件の入る流体の方程式の可解性について考察した。まず空間2次元において流速の各成分に対する片側制約条件を含むストークス方程式を考察した。障害物問題として知られるこの種の問題は指示関数の劣微分を用いて、発展方程式で記述できる。熱方程式の障害物問題における既存の結果を踏まえ、発散条件の問題を処罰法で近似することで、ある弱解の存在を証明した。強解としての滑らかさを得るためには、主要項と制約集合の関係に良い条件が必要になるが、片側制約に対して連立系の場合にはこれを満たさない。そこで次に流速の大きさに対する制約条件を含むナヴィエ・ストークス方程式を空間3次元で考察した。主要項の定義域として制約条件を表現し、その時間依存性に対する評価式を得ることで、既存の時間依存劣微分作用素を含む発展方程式の抽象理論を用いて可解性を得た。特に、空間3次元であっても解の制約条件から十分な有界性が得られ、一意性を得ることができる点が重要である。
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