2009 Fiscal Year Annual Research Report
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21840017
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| Research Category |
Grant-in-Aid for Young Scientists (Start-up)
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| Research Institution | The University of Tokyo |
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Principal Investigator |
GALKIN Sergey The University of Tokyo, 数物連携宇宙研究機構, 特任研究員 (10554503)
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| Keywords | 幾何学 / トポロジー / 代数学 |
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| Research Abstract |
1.アペリ特性=ガンマ推測:ミラー対称性は量子コホモロジーにおける自然統合構造の存在、すなわち量子関係にかんする平面格子を暗示する。トーリックスタックの場合において入谷寛が証明しているようにこの統合構造はコホモロジーガンマ類による変形としてのK-theoryにおける統合構造に由来する。またSergey Galkinは量子コホモロジー輪とQDEに由来するファノ多様体の陽の不変量であるアペリ類を発表した。Galkinと入谷はこれら2つコホモロジー類が多くの多様体にとって一致しすることを推測し、Golyshev氏とそれがグラスマン多様体に似たものということを証明した。この推測は(リーマンのゼータ関数値の代数的独立性についての通常の推測とともに)QDEからの多様体の特有の数を読み取ることを可能にする。2.ファノ多様体のミラー双対である端的ローラン多項式にたいするクラスターmutationアプローチ:よく知られたスムースファノ多様体は単一のトーリック多様体もしくはそこにおける完全な交点への退化を許容する。スムースなトーリックファノ多様体はファノスムーシングについてのミラー双対Landau-Ginzburgモデルを示唆し、その特性および数的不変量を予測することを可能にする。スムーストーリックファノ多様体の場合、「トーリック退化仮説」はギベンタールに起因する;そのような多様性のミラーはそれぞれの扇多面体内のすべての単項式の総数と同等のローラン多項式として明白に定められる。この仮説はスムースファノ多様体がゴレンシュタイン端末特異点をもったトーリックファノ多様体への退化にも当てはまる。通常のトーリック退化の場合は、それぞれの多面体内の単項式に係数を割り当てる方法は知られていない。しかしミラー双対である端的ローラン多項式を、ログ有理体積形式を保存する特別な双有理変換による所与の多様体の異なる退化に結び付けることができる。最近になってSergey GalkinとAlexander Usnichが明らかにしたことは、クラスターmutationを応用し所与のトーリック退化の無限の階層を予測することができるということである。
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