2023 Fiscal Year Annual Research Report
Mathematical Theory of Partial Differential Equations in Fluid Mechanics
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21H04433
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| Research Institution | Waseda University |
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Principal Investigator |
小薗 英雄 早稲田大学, 理工学術院, 教授 (00195728)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
三浦 英之 東京工業大学, 情報理工学院, 准教授 (20431497)
前川 泰則 京都大学, 理学研究科, 教授 (70507954)
隠居 良行 東京工業大学, 理学院, 教授 (80243913)
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| Project Period (FY) |
2021-04-05 – 2026-03-31
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| Keywords | ナビエ・ストークス方程式 / リュービル型定理 / 軸対称流 / 斉次ベゾフ空間 / 漸近安定性 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1.3 次元円柱外部領域における旋回ゼロの軸対称定常ナビエ・ストークス流の漸近挙動
３次元空間内の無限円柱の外部領域における定常ナビエストークス方程式の軸対称解の漸近挙動を考察した．解のクラスとしては一般化されたディリクレ積分有限，すなわち一階偏導関数がq-乗可積分であり，また軸対称性に加えて鉛直方向には周期的かつ，円柱座標系による旋回(swirl) 部分はゼロと仮定した．この様な解の条件下で，その渦度の円柱座標の動径方向の無限遠点における各点評価式を可積分指数q の関数として確立した．応用として3 次元全空間における旋回ゼロの一般化されたディリクレ積分有限な解のリュービル型定理を証明した．
2. n次元空間における定常ナビエ・ストークス解の漸近安定性
n次元全空間における定常ナビエストークス方程式の解の安定性について論じた．定常ナビエストークス方程式のスケール不変な関数空間おけるこれまででもっとも一般的な解の存在定理は，斉次ベゾフ空間B^{－1+n/p}_{p,∞}，1 ≦ p < n における金子-小薗-清水(Indiana Univ. Math. J.68 (2019),57-88) の結果である．本研究おいては，その定常解に同じベゾフ空間に属する小さな初期擾乱を与えたときの安定性を，時間漸近レートとともに証明した．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
ナビエ・ストークス方程式の時間に依存する特異点の除去可能性を考察した．n次元空間の有界領域内の同方程式の解が，時間に関して指数1/n < α ≦１$ ヘルダー連続の動的孤立特異点をもつとき，その特異点への漸近オーダーが 1/α - n より穏やかな挙動をするとき，それは除去可能であることを証明した．
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| Strategy for Future Research Activity |
有界領域においてナビエ・ストークス方程式の解を，線形ストークス作用素の分数べき定義域を基礎空間とした最大正則性のクラスにおいて考え，分数べき指数と最大正則性の可積分指数が初期データと外力に与える適合条件を見出すことを研究課題とする．
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