2021 Fiscal Year Annual Research Report
Representation theory of vertex algebras for the 21st century
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21H04993
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
荒川 知幸 京都大学, 数理解析研究所, 教授 (40377974)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
西中 崇博 大阪市立大学, 大学院理学研究科, 准教授 (20773021)
山内 博 東京女子大学, 現代教養学部, 准教授 (40452213)
疋田 辰之 京都大学, 数理解析研究所, 助教 (70793230)
川節 和哉 熊本大学, 大学院先導機構, 准教授 (90853531)
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| Project Period (FY) |
2021-07-05 – 2026-03-31
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| Keywords | 群の表現論 / 頂点作用素代数 / 4D/2D双対性 / W代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
荒川は、本研究課題の研究内容について、米国ペンシルベニア大学、中国精華大学でのColloquiumを含め、世界各地の12の国際研究集会・セミナーで講演を行った。
研究面では、以下の成果を得た。1) 許容レベルのアフィン頂点作用素代数は擬平滑であり、最高ウエイトとは限らない既約なウエイト表現を持つ。川節等により既約ウェイト表現はすでに分類されているが、ウェイト表現の圏の構造についてはほとんど知られていない。そこで、荒川と川節はThomas Creutzig (Alberta)と共にウェイト表現の圏の構造を詳しく調べたところ、量子群の表現と密接に関係するという、驚くべきべき結果を得た。2)荒川は、4次元理論から現れる頂点代数の自由場表示について考察した。具体的には、Sven Moller(ハンブルグ）と共同で、4次元から現れる頂点代数の例である中心電荷-9のsmall N=4スーパーコンフォーマル代数を、P^1上の捻れたカイラルde Rham複体の大域切断として実現し、その自由場表示を層の開集合への制限写像として復元した。3) W代数は主にホモロジー代数的手法によりその表現論が展開されてきた。一方で，様々な具体例においては，コセット構成法と呼ばれる操作で得られるW代数の例が限定的に考察されてきた。近年，荒川-Creutzig-Linshaw の結果により，コセット構成法で得られる頂点代数と，量子還元法で定められたW代数との系列的な対応が明らかとなり，両者を合わせた応用を考えられる状況となった。上記の状況を踏まえ，山内はレベル2のADE型のアフィン頂点代数代数の場合に，ハイゼンベルグ代数に関するコセット構成法から生ずる頂点代数について，W代数との関連を含めて研究を行った。生成元としてA1型W代数を用いた場合に，上記のコセット構成法から得られる頂点代数を特徴づけ，分類する部分的な結果を得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
1)リー環の、最高ウエイト表現とは限らないウエイト表現の圏として構造ついては、有限次元リー環の場合でさえ、ほとんど結果が存在しない。このような状況の中、荒川と川節のThomas Creutzigとの共同研究により、許容レベルのアフィンリー環のウエイト表現の圏が、小さな量子群と密接に関係とする結果を得た。この結果はウエイト専門家にとっては驚きを持って受け止められたが、4D/2D双対性の観点からは自然な結果である。つまりこの結果は我々の研究の方向性の正しさを示していると言える。2)荒川とSven Mollerとの共同研究により、Beem-Ratelliにより予想されている、4次元から現れる頂点作用素代数の自由場表示の存在が、頂点作用素代数のBeilinson-Bernsteinの意味での局所化から自動的に従うであろうと、いう知見を得た。これにより、Beem-Ratelliの予想の自然な解決と、4次元から現れる頂点作用素代数の、Beilinson-Bernsteinの意味での局所化の手法を用いた表現論の進展が期待できる。3) 山内によるレベル2のADE型のアフィン頂点代数代数のハイゼンベルグ代数に関するコセット構成法から生ずる頂点代数の解析手法は、今後のさらなる一般化が期待できる。
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| Strategy for Future Research Activity |
1)荒川と川節は引き続きThomas Creutzigとの上記共同研究を推し進め、許容レベルのアフィンリー環のウエイト表現の圏の構造を決定する。2)荒川は4次元理論から現れる頂点作用素代数のBeilinson-Bernsteinの意味での局所化をより一般の場合に研究し、自由場表示や表現論に応用する。山内には引きづづきＡDE型のアフィン頂点代数代数のハイゼンベルグ代数に関するコセット構成法から生ずる頂点代数の解析を行う。疋田は引き続きシンプレクティック特異点解消のK理論的標準基底の楕円化と頂点代数との関係について研究する。
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Research Products
(23 results)
