2021 Fiscal Year Annual Research Report
Limit theorems for long-time behavior of diffusion processes
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21J11000
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
山戸 康祐 京都大学, 理学研究科, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2023-03-31
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| Keywords | 確率過程論 / 出生死滅過程 / 拡散過程 / 極限定理 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
一次元拡散過程の最小到達時刻問題からの発展的課題として, 矢野氏（京都大学）との共同で, 最小到達時刻分布から初期分布を復元する問題へと取り組んだ. 結果として, 出生死滅過程に対しては常に復元が可能であること, および, その復元公式が各列が生成作用素の一般化0-固有ベクトルからなる行列を用いた表示をもつことがわかった. また, 出生死滅過程と直交多項式との対応を用いて, 復元公式に現れる諸量の厳密な値が計算可能な例をいくつか得た. 加えて, 出生死滅過程を一般化一次元拡散過程として見ることで, 確率過程の変換によって, 復元公式がどのように変化するかを明らかにした. さらに, 一次元拡散過程に対しても, 初期分布がスピード測度に関して二乗可積分性を満たす密度をもつ場合には復元可能であることがわかった. また, スペクトル理論を用いて, 復元公式が厳密に計算可能な例を得た. この結果は現在, プレプリントの段階であり, 間もなく学術雑誌に投稿予定である.
跳躍流入をもつ一次元拡散過程が大きな跳躍をもつ場合に, その逆局所時間のスケール極限を取り扱った. スピード測度と跳躍測度の裾の正則変動性のパラメータが一定の関係を満たす場合に, スケール極限がブラウン運動に収束することを示した.
証明においては, スピード測度の収束を考察する必要があったため, 新たな収束概念を導入した. また, この結果を得るために一般化修正ノイマン境界条件と呼ばれる境界条件を導入し, その解を構成した. この結果は現在学術雑誌に投稿中である.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
最小到達時刻問題の研究の発展として, 初期分布の復元問題の研究が進んだ.現在, レヴィ過程の場合においても研究が進展しつつあり, より広いクラスへの一般化が順調に進んでいる.
跳躍流入をもつ一次元拡散過程の逆局所時間のスケール極限の考察が進んだ. 大きな跳躍をもつ場合には, 小さな跳躍のみの場合とは異なり, 緩やかな境界条件のもとでスケール極限を示せることがわかり, 一般性の高い形で極限定理を示すことができた.
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| Strategy for Future Research Activity |
初期分布の復元問題を一次元拡散過程とレヴィ過程に対して推し進める. まずは, 正スペクトル, 負スペクトルをもつレヴィ過程に対して, 復元公式を得る. また復元公式が厳密に計算可能な例を構成する. 加えて, 復元公式を通じて, レヴィ過程の極小, および非極小な準定常分布の存在条件を考察する.
またレヴィ過程の準定常分布に関して, Renewal dynamical approach を用いた考察も行い, 広いクラスのレヴィ過程に対し, 準定常分布の存在, および, その吸引域の解明を目指す.
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