2021 Fiscal Year Annual Research Report
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21J11199
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| Research Institution | Nagoya University |
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Principal Investigator |
丸山 修平 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 特別研究員(DC2)
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2021-04-28 – 2023-03-31
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| Keywords | 擬準同型 / 特性類 / 葉層束 / 群コホモロジー / 有界コホモロジー / シンプレクティックファイブレーション |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は, 擬準同型の降下不可能性と葉層ファイバー束の特性類の性質の関係に関する研究(川崎盛通氏(青山学院大学)との共同研究), および擬準同型の拡張不可能性の研究(川崎盛通氏(青山学院大学), 木村満晃氏(京都大学), 松下尚弘氏(琉球大学), 見村万佐人氏(東北大学)との共同研究)を行った.
川崎氏との共同研究では, 位相群の普遍被覆群上の降下不可能擬準同型のなす空間と, 葉層ファイバー束の2次元の有界特性類で, ファイバー束の特性類に由来するもののなす空間とが同型となることを証明した. この定理を用いて, シンプレクティックファイブレーションの特性類でMilnor--Wood型の不等式を満たすものを発見し, 系として横断的シンプレクティック葉層ファイバー束構造を許容しないシンプレクティックファイブレーションを可算無限個構成した.
川崎氏, 木村氏, 松下氏, 見村氏との共同研究では, 正規部分群上の不変擬準同型の拡張不可能性について, コホモロジー, 幾何群論, シンプレクティック幾何等の観点から研究を行った. 有界コホモロジーに関する相対コホモロジーについて五項完全列を証明した. それを用いることで, 拡張不可能不変擬準同型が, 有界コホモロジーに由来する非自明な群コホモロジー類を誘導することが分かる. 川崎氏と木村氏による先行研究でPyの擬準同型が拡張不可能なことが知られていたが, それと上記を合わせることで横断的シンプレクティック葉層ファイバー束の非自明な特性類が定義出来た.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
1: Research has progressed more than it was originally planned.
Reason
研究目的の「擬準同型から定まる特性類の性質を明らかにすること, およびそのファイバー束への応用を与えること」に対して, 想定以上の成果が得られた.
具体的には, 川崎氏との共同研究により降下不可能な擬準同型から定まる特性類は常にファイバー束の葉層束構造の障害を与えるという一般論, およびその応用が得られた. また川崎氏, 木村氏, 松下氏, 見村氏との共同研究により, 拡張不可能擬準同型から非自明な特性類が誘導されるという一般論も構成出来た.
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| Strategy for Future Research Activity |
本研究において擬準同型と特性類との関係を記述するフレームワークの構築が出来たと考えている. そのため, このフレームワークを用いて既存の理論の再解釈を行い, 新たな現象の発見につなげていく.
本研究で擬準同型の降下不可能性と有界特性類の一般論が構築されたが, ポアンカレの回転数とオイラー類の関係という古典的な事実はこの一般論に乗る典型例である. 本研究では他にもこの一般論に乗る例として, Ostroverの擬準同型とシンプレクティックファイブレーションの第一障害類という例を与えている. これらが同じ一般論に乗るため, ポアンカレの回転数とオイラー類に関して知られている様々な定理が, Ostroverの擬準同型と第一障害類についても証明できると期待される. 今後はこの方針の研究を行いたい.
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