2021 Fiscal Year Annual Research Report
非可換超曲面と非可換不変式環の幾何学的および表現論的性質に関する研究
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21J11303
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| Research Institution | Shizuoka University |
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Principal Investigator |
松野 仁樹 静岡大学, 自然科学系教育部, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2023-03-31
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| Keywords | 非可換代数幾何学 / AS-regular algebra / Calabi-Yau algebra / 非可換二次曲線 / 幾何的代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
令和三年度に実施した研究の成果は次の通りである。
１.代数幾何学において射影空間の次に基本的な対象として超曲面がある。非可換代数幾何学においても非可換超曲面は重要な研究対象である。その最も単純な場合として非可換射影平面内の非可換二次曲線について静岡大学の毛利出氏と静岡大学のHuHaigang氏と共同で研究を行った。本研究の研究対象は三次元二次Calabi-Yau AS正則代数を斉次座標環とする非可換射影平面の非可換二次曲線であり、三次元二次Calabi-Yau AS正則代数の二次斉次な中心元によって生成された両側イデアルによる剰余代数を斉次座標環とする。本研究では非可換射影平面内の非可換二次曲線に付随する点多様体を分類し、与えられた二つの非可換二次曲線の斉次座標環が次数付き代数同型であることと付随する点多様体が同型となることが同値であることを示した。得られた研究成果を論文にまとめて学術誌へ投稿中である。
２.幾何的代数のtwisted algebraについて研究を行った。本研究ではまず幾何的代数のtwisted algebraが次数付き代数同型を除いて射影空間の特別な自己同型写像を用いて決定されることを示した。一般に与えられた次数付き代数のtwisting systemを構成することやそのtwisted algebraを与えることは難しい問題であることが多いが、本結果により幾何的代数のtwisted algebraを次数付き代数同型を除いて分類することは射影空間の自己同型写像を分類することに帰着される。本研究では三次元幾何的AS正則代数の場合に対応する射影空間の自己同型写像を決定し、その完全なリストを与えた。これにより三次元幾何的AS正則代数のtwisted algebraの次数付き代数同型を除いた分類が完成した。得られた研究成果を論文にまとめて学術誌へ投稿中である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
非可換二次曲線について「Calabi-Yau」や「中心元」といった仮定のもとで有意義な研究成果を得ることができたが、一般の非可換二次曲線についてはほとんど進展を得ることができなかった。一方で、当初の計画にはなかった幾何的代数のtwisted algebraについて有意義な研究成果を得ることができたが、当初予定していた研究計画に関してはやや遅れているといえる。
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| Strategy for Future Research Activity |
令和四年度は次のような研究課題に取り組む予定である。
１.引き続き非可換二次曲線の研究および分類を行う。
２.三次元二次Calabi-Yau AS正則代数の自己同型群のリストをもとに自己同型群の有限部分群で与えられる非可換不変式環の研究および分類を行う。
3.幾何的代数のtwisted algebraに関する研究を行う。特に高次のskew polynomial algebraやSklyaninn algebraへ応用しそのtwisted algebraの分類を行う。また幾何的代数の一般論についても研究を行う。
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