2021 Fiscal Year Annual Research Report
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21J12131
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| Research Institution | University of Tsukuba |
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Principal Investigator |
足立 宏幸 筑波大学, 理工情報生命学術院, 特別研究員(DC2)
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| Project Period (FY) |
2021-04-28 – 2023-03-31
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| Keywords | ベクトル束の行列正則化 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
当該年度は、主に三つの研究を行った。一つ目は研究計画で予定していた三次元多様体上の南部括弧の行列正則化の研究である。この研究では、これまでに成し遂げられていないM理論のローレンツ共変的な定式化を行うために必要な数学的操作であり、弦理論の非摂動的な理解のために重要な役割を果たす。当該年度はループ空間上のディラック作用素のゼロモードを使い三次元多様体上の行列正則化の定式化を試みたが、失敗に終わった。残り二つの研究は研究計画では予定されていなかったもので、二次元空間上の場の理論の行列正則化と高次元で偶数次元の空間上の場の理論の行列正則化である。従来の行列正則化では、偶数次元の空間上の関数（スカラー場）の理論を、正方行列を自由度とした行列模型に正則化することが考えられていた。しかし、この従来の手法では、電磁場や重力場といったテンソル場や、一様磁場と結合するスカラー場など、単純な関数で表せない一般の場に対しては適用できない。我々の研究グループは、数学的にベクトル束の切断として表せるような場の行列正則化の一般論を初めて構成した。これは従来の行列正則化を内包するより一般的なフレームワークになっており、従来考えることが出来なかった場の理論の正則化を行うことが可能になった。特に当該年度に投稿した論文では、数学的により簡単な二次元空間上での準同型束の切断の行列正則化を定式化し、それを用いて二次元球面と二次元トーラス上の一様磁場と結合するスカラー場の理論の正則化を行った。その後、同様の二次元空間上でのベクトル束の切断の行列正則化を元に、電磁場や重力場といったテンソル場の行列正則化を行った論文を投稿した。さらに、二次元空間だけでなく、より一般の偶数次元の空間上のベクトル束の切断の行列正則化を現在研究中で、来年度中に論文を投稿予定である。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
研究計画で予定していた研究は三次元多様体上の南部括弧の行列正則化の研究である。通常の行列正則化では偶数次元のシンプレクティック多様体上の関数の行列正則化を考えている。そのような場合、多様体にシンプレクティック形式と呼ばれる2形式が定まっており、その2形式と比例するような場の強さを持つ電磁場を導入する。そのような電磁場に関する接続を含めたディラック作用素のゼロモードは有限の線形空間になっており、そのゼロモードの空間からゼロモードの空間への写像として行列正則化を定式化することが出来る。三次元多様体上の南部括弧の行列正則化では、多様体に自然に定まっているのは体積形式と呼ばれる3形式しかない。よって通常の行列正則化のアナロジーから、その3形式に比例した場の強さを持つ2形式ゲージ場を考えることが出来る。しかし、そのようなゲージ場は通常の多様体上のベクトル束の接続としては取り扱うことが出来ず、そのような接続を持つディラック作用素を構成することが難しい。一つの解決方策として、そのような2形式の接続を取り扱うことが出来るループ空間を用いた研究を試みたが、この手法は非常に数学的に抽象的であり、実際に簡単な三次元多様体である三次元球面や三次元トーラスでそのようなゼロモード方程式の解を求めることはできなかった。現時点では上述の手法をさらに突き詰めて研究することを中断し、上述の手法とは異なるアプローチを探求中である。
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| Strategy for Future Research Activity |
今後の研究課題としても、研究計画で予定していた三次元多様体上の南部括弧の行列正則化の定式化に向け研究する。今後の研究予定では、二つのアプローチにより、具体的に三次元多様体である三次元球面や三次元トーラス多様体の行列正則化を試みる。一つ目の手法は、三次元多様体が接触多様体である場合について考える。接触多様体とは奇数次元版のシンプレクティック多様体のようなもので、接触形式と呼ばれる1形式が備わっている。よって、そのような1形式を接続に持つ電磁場を考え、その接続を含めたディラック作用素のゼロモードの空間を考え、そのゼロモードの空間からゼロモードの空間への写像として行列正則化を定式化することを試みる。二つ目の手法は、3次元空間上の様々な電磁場配位に対して可解なディラック方程式のゼロモード解の先行研究の結果を用い、それらを用いて具体的に三次元球面や三次元トーラス多様体の行列正則化を試みることである。通常のシンプレクティック多様体上の行列正則化では、シンプレクティック形式と比例する場の強さを持つ電磁場配位といった指針があるが、一般的な三次元多様体に対してはそのような指針がない。よって、ゼロモード解が知られているようなシンプルな電磁場配位に対していくつか具体的に行列正則化を行うことで、南部括弧の構造が性質の良い行列の操作に写されるのかを具体的に調べる。
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Research Products
(2 results)
