2022 Fiscal Year Research-status Report
Modular curves and 1-motives
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21K03153
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
山崎 隆雄 中央大学, 理工学部, 教授 (00312794)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 代数学 / 数論幾何 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1. 以前から継続してなされていた研究のいくつかの成果が今年度に出版された．まず，モジュラス付きモチーフの三角圏を構成した三編の連作論文のうち最後の第三論文が出版された（Bruno Kahn氏，斎藤秀司氏，宮崎弘安氏との共著）．相互層とモジュラス付きモチーフの関係を明らかにした論文が出版された（Bruno Kahn氏，斎藤秀司氏との共著）．P1不変移送付き層が双有理的不変量であることを明らかにした論文が出版された（小田部秀介氏・甲斐亘氏との共著）．
2. 前項最後の結果についてBruno Kahn氏と議論を深め，P1不変移送付き層が「双有理モチーフ的不変量」であるという，より強い結論まで証明できることが明らかになった．
3. 有限次元単純Lie環に対し，そのワイル群がある多変数の有理関数体に作用する． これはクラスター代数の理論を用いて井上玲氏により構成された作用で，1の冪根における量子アフィン代数のq-指標に関係する．この作用に関する固定部分体を決定することは基本的な問題である．本年度になされた井上玲氏と共同研究で，この問題について解答を与えた．なお，量子パラメーターが1の冪根でない場合の対応する問題は，我々の結果がプレプリントとして公開されたのち， Frenkel-Hernandezにより解決がなされた．
4. 対角線の分解を許容する曲面に対し，不分岐コホモロジーが正規双有理モチーフ的不変量としての普遍性を持つことについて研究を進めた．これは現在進行中である．
モジュラー曲線に関する具体的な成果は得られなかった．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
上記の通りモチーフ理論に関しては多くの研究結果が出版できた．また，ワイル群の有理関数体への作用や不分岐コホモロジーの普遍性という新たな課題を見出し，一定の成果を得ることもできた．非合同モジュラー曲線については特に進展は得られなかったが，それを補うに足る成果であると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
標数零の代数閉体上の多様体が対角線の分解を許容するとき，任意の正規モチーフ的不変量が不分岐コホモロジーにより捉えられるという問題を中心に研究を進める．曲面の場合はVishikの最新の研究を応用することでこの問題にアプローチする．その一般化や代数的サイクルへの応用についても考察を深める．
今年度はある程度の頻度で国内外の研究集会やセミナーで研究成果発表を行い，該当分野の研究者との交流を再開したい．本研究は共同研究で行われているものが多いため，これは重要である．とはいえ，新型コロナウィルス流行以前に比べると低調となることはやむを得ないであろう．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルス蔓延により今年度前半の研究集会がキャンセルとなり，そのために生じた未使用金が多い．今後は感染症蔓延状況が改善されていくことが期待できるが，そうなった場合は共同研究者と対面で研究打ち合わせを行いたい．
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