2023 Fiscal Year Research-status Report
Modular curves and 1-motives
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21K03153
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| Research Institution | Chuo University |
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Principal Investigator |
山崎 隆雄 中央大学, 理工学部, 教授 (00312794)
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2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 数論幾何 / モチーフ |
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| Outline of Annual Research Achievements |
1) 有限次元単純Lie環に対し，そのワイル群がある多変数の有理関数体に作用する． これはクラスター代数の理論を用いて井上玲氏により構成された作用で，1の冪根における量子アフィン代数のq-指標に関係する．この作用に関する固定部分体を決定することは基本的な問題である．井上玲氏と共同研究でこの問題について解答を与え，専門誌Algebras and Representation Theoryより論文が出版された．なお，量子パラメーターが1の冪根でない場合の対応する問題は，我々の結果がプレプリントとして公開されたのち， Frenkel-Hernandezにより解決がなされた．
2) 佐藤周友氏との共同研究で，対角線の分解を許容する曲面に対し不分岐コホモロジーが正規双有理モチーフ的不変量としての普遍性を持つことを明らかにした．この結果を用いて，Bruno Kahn氏により提出されていたEnriques曲面のChow群に関する問題を解決することができた．また，副産物として，整Hodge予想への反例を与える四次元多様体を構成することもできた．結果は論文にまとめ，投稿中である．
3) 大坪紀之氏との共同で，古典的なGauss和・Jacobi和をモチーフの視点から研究した．Hasse-Davenportの積公式など，Gauss和やJacobi和について古典的に知られている関係式を，モチーフの間の同型として幾何的にとらえることに成功した．また，正標数ではGauss和・Jacobi和のモチーフ的な類似物によりFrobenius写像を記述できることを明らかにした．これはColemanが曲線の場合に示していた結果の高次元化にあたる．この結果も論文にまとめ，投稿中である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
モチーフ理論に関連した分野で，不分岐コホモロジーやGauss和・Jacobi和のように新たな方向性を持った研究を開拓し，一定の成果を得ることもできた．モジュラー曲線の数論についてはまとまった成果には至らなかったが，Yifan Yang氏との共同研究が進行中である．以上これらから進捗状況はおおむね順調であると判断できる．
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| Strategy for Future Research Activity |
これまで進捗が遅れてきたモジュラー曲線に関するテーマを中心に研究活動を進める．これは国立台湾大学のYifan Yang氏を含む複数名の共同研究として進めているため，そのメンバーとの研究交流を加速させる．
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| Causes of Carryover |
新型コロナウィルスの影響で来年度に延期された研究集会への参加旅費が未使用金として持ち越された．この分は研究集会への参加旅費として使用する．残額分は，共同研究者と対面で研究打ち合わせを行うための旅費として使用する．
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