2021 Fiscal Year Research-status Report
Cohomology of finite groups and homotopy theory of classifying spaces from the viewpoint of representation theory
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21K03154
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| Research Institution | Saitama University |
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Principal Investigator |
飛田 明彦 埼玉大学, 教育学部, 教授 (50272274)
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2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 有限群の表現論 / 有限群のコホモロジー / 共役類 / 有限群の分類空間 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本研究の目的は、有限群のコホモロジーを通じて、有限群の構造、部分群の fusion、表現論、分類空間のホモトピー論、等の様々な対象の関係について探求を行うことである。表現論の視点からの研究を主眼とし、併せて、両側 Burnside 多元環や両側集合圏の理論を応用した研究を行う。素数 p に対して、有限群の p-部分群の共役の状況は、群の構造についての重要な情報である。これらの情報は分類空間の性質、特にその分解や標数 p の体を係数とするコホモロジー環に反映される。例えば、群の分類空間の安定分解は、代数的には両側Burnside 環上の加群の考察に帰着され、有限群のコホモロジー環の両側Burnside 環上の加群としての（あるいは両側集合関手としての）構造から得られる情報は、表現論とホモトピー論との関係の探究に大きく寄与する。本研究では有限群や多元環の表現論の観点からの研究を目的としている。
本研究においては有限群、特に有限 p-群についての詳細な情報が必要であり、本年度は有限群の構造と表現を中心に研究を行った。
群の構造に関しては有限群の共役類の長さについて考察を行った。有限 p-群の共役類の長さの平均に関する不等式についての予想を提起し、位数が 2 のべきであり共役類の長さの種類が限定されている場合に不等式の検証を行った。また、複素既約指標の次数と共役類の長さの関係に着目した研究や、モジュラー表現との関係に関する研究を実施した。モジュラー表現については、ブロック理論とも関わる様々な問題を提起し相互の関連を検討した。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
本年度は、有限群の構造や表現に関する詳細な情報について研究を実施した。共役類や既約表現についての研究とともに、モジュラー表現との関係についても研究を行った。正標数 p の体上でのモジュラー表現について、ブロックに属する既約指標の次数、p-正則共役類の長さ、カルタン行列の行列式、不足群の焦点部分群の位数などに関して一定の進展を得ることができた。
特に、これらの間の大小関係や整除関係に関する考察を行い、有限群のブロックに属する既約指標の不足数の和と共役類の不足数の和に関する不等式、不足群の焦点部分群の位数を関連付けた不等式、これらにおいて等号が成り立つための必要十分条件やブロックの不足数との関係、主ブロックについて焦点部分群と共役類の長さの p-部分との関係、さらに p-正則共役類に限定したときの不等式、可換不足群予想との関係、ブロックの下位不足群との関係、等々についての様々な問題・予想を提起し方向性を見出すことができた。
またRIMS共同研究「有限群のコホモロジーとその周辺」（2022年2月）を研究代表者として実施し、関連する様々な諸問題について有意義な検討・議論を行うことができた。
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| Strategy for Future Research Activity |
本年度に引き続き有限群の構造と表現についての研究を進めるとともに、分類空間のホモトピー論やコホモロジー論の研究への応用を進める。特に、モジュラー表現との関わりについての研究を中心に実施する予定である。その他、多元環の表現論、Burnside 多元環の表現、両側関手の表現などの圏論的な方法、などの応用を図る必要があり、そのためにはこれらの対象分野に関する独自の研究も深めていく予定である。
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| Causes of Carryover |
参加予定であった学会、研究集会等の多くについて中止、オンライン開催、または参加ができない状況となり、旅費の支出が無かった。翌年度の状況についても不明であり、図書や資料等の購入を通じて情報収集に努める予定である。
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