2023 Fiscal Year Research-status Report
Algebro-geometric study of iterated Frobenius direct images on del Pezzo surfaces in positive characteristic
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21K03157
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| Research Institution | Tokyo University of Agriculture and Technology |
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Principal Investigator |
原 伸生 東京農工大学, 工学(系)研究科(研究院), 教授 (90298167)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 正標数 / Frobenius直像 / del Pezzo曲面 / 反標準束（反標準環） / 代数幾何 / 有限F-表現型（FFRT） |
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| Outline of Annual Research Achievements |
正標数pの代数閉体上の非特異5次del Pezzo曲面Xの反標準束をL＝O_X(-K)とするとき，非負整数n,eに対してn重反標準束L^n＝O_X(-nK)のe次Frobenius直像(F^e)_*(L^n)は階数q^2のベクトル束である．ただし，q＝p^eとおいた．このFrobenius直像を直既約ベクトル束の直和に分解する際に現れる直和因子の同型類が，Lによるtwistを法として高々有限個であることがMalloryによって証明されているが（Xの反標準環のFFRT性)，具体的にどのようなベクトル束がFrobenius直像の直和因子として現れるかという問題は未解決であり，この問題に対する解答を与えることが本研究の目的の一つである．
現在までのところ，標数p＝2,3の場合にはFrobenius直像(F^e)_*(L^n)の構造を解明したが，標数p≧5においては，p＝3の場合と同様の結果が期待されるものの，未だ構造解明には至っていない．本年度は，いくつかの標数における計算例の検証から，一般の場合の構造解明の糸口となると期待される次の予想を得た．ただし，F_{1,1,1/2}とGは本研究とその先行研究において得られたX上の直既約ベクトル束で，F_{1,1,1/2}は階数3の自己双対束，Gは階数2のベクトル束でその双対が，Xの(2,5)-Grassmann多様体への埋め込みによる普遍商束の引き戻しとなるものである．また，Xを射影平面の4点爆発として構成するとき，射影平面上の直線のXへの引き戻しをH，4本の例外曲線の和をEとする．
【予想】pが奇素数で，(q－1)/3≦n≦(q－1)/2とする．Frobenius直像(F^e)_*(L^n)の直和分解におけるF_{1,1,1/2}の重複度をf, G(H-E)の重複度をgとするとき，f＋g＝(3n－q＋1)(3n－q＋2)/2が成り立つ．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
4: Progress in research has been delayed.
Reason
当初は先行研究（研究実績の概要の記号でn＝0, n＝(q－1)/2の場合）で用いた方法を一般化して本研究に適用する予定であったが，一般の標数pで，0≦n≦(q－1)/2をみたすq＝p^eとnについてe次Frobenius直像の考察をする際には，固定できない二つのパラメタn,qがあることによる計算上の困難が予想以上に顕著であり，別の方法を模索する必要があったため
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| Strategy for Future Research Activity |
研究実績の概要で述べた予想を証明することにより問題の部分的な解決を図る．さらに，予想と同様の等式を他のいくつかの直和因子の候補と見做される直既約ベクトル束たちについても見出し，これらを証明して組み合わせることにより，問題解決に繋げて行く．
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| Causes of Carryover |
コロナ禍が明けたとはいえ，前年度までの残額の累積が大きかったことと，未だコロナ禍の影響が残っていることにより，出張回数が１回に留まったことが，次年度使用額が発生した主な理由である．今年度は，9月に大阪，12月に熊本への出張を予定しており，また12月の熊本の研究集会では，関連する他の研究者のための旅費として本研究費を使用してもらえるよう主催者に申し出ている．以上の旅費として次年度使用額を利用することを計画している．
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