2022 Fiscal Year Research-status Report
準傾対象を用いた1次元岩永-Gorenstein環の表現論的研究
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21K03160
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| Research Institution | University of Yamanashi |
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Principal Investigator |
山浦 浩太 山梨大学, 大学院総合研究部, 准教授 (60633245)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 岩永-Gorenstein環 / Cohen-Macaulay加群 / 安定圏 / 三角圏 / 準傾対象 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
入射次元が1以下の正次数付き有限次元代数Aを次数付き1次元岩永-Gorenstein代数と呼ぶ。この代数の表現論における主要な研究対象は、次数付きCohen-Macaulay加群の圏、およびその安定圏SCM(A)である。安定圏は三角圏の構造を有している。本研究では三角圏を解析するための道具である準傾対象を用いて安定圏の構造解析を行う。
本年度は以下の進展があった。Aの0次部分環が岩永-Gorensteinのとき、局所有限な次数付きCM加群の安定圏をL(A)と書く。L(A)は準傾対象を持つSCM(A)の三角部分圏である。本研究ではKoenig-Yangによって示された導来圏における準傾対象とt構造の1対1対応を参考に、L(A)の準傾対象とSCM(A)のt構造の対応を調べることを目的の1つに挙げている。これを特殊な自明拡大環のケースに考察した。
Rを岩永-Gorenstein代数とし、Cを入射次元1の両側余傾加群とする。このとき、RのCによる自明拡大環Aは次数付き1次元岩永-Gorenstein代数となる。もしRの大域次元が有限ならば、SCM(A)と有限生成R加群の有界導来圏との圏同値が存在し、研究目的はKoenig-Yangの結果に帰着される。そのためRの大域次元が無限である場合に考察を行った。その結果、先に触れた圏同値の類似として、次の結果を得た。以下の(1)(2)を満たすSCM(A)の三角部分圏F(A)が存在する。(1)L(A)とF(A)は互いに直交する圏となっている。(2)F(A)によるSCM(A)のVerdier商は、有限生成R加群の有界導来圏と三角圏同値になる。しかも、F(A)の対象はCM R加群を用いて記述できる。この結果により、Rの大域次元が無限の場合でもRの表現論を参考にして研究を進めることが可能となった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
一部の研究で進展があったものの、研究目的に対する一般論を構築が出来ておらず、研究の進度はやや遅れている状況にある。
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| Strategy for Future Research Activity |
昨年度の報告でも述べた準傾対象の集合に対する研究は進展しておらず、その研究に引き続き取り組む。また、今回進展が見られた安定圏における準傾対象とt構造の対応に関する研究も継続する。現在、本年度に得られた結果を参考にして、具体例の準傾対象とt構造を計算することで一般論構築の資料を収集している。これに引き続き取り組む。さらに本年度に示した結果はCが余傾加群であることを仮定しているが、この仮定を除外し、より汎用性の高い結果に一般化することを試みる。
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| Causes of Carryover |
新型コロナウイルス感染症流行は落ち着きつつあるものの、未だ出張はし難い状況であったため、対面参加を計画していた研究集会をオンラインで参加することが多くなった。そのため、計画していた一部の出張費用を使用することがなく、次年度使用額が生じた。来年度からは近年控えていた出張を再開するつもりである。その出張旅費や研究遂行上必要となる電子機器の購入に次年度使用額を充てる予定である。
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Research Products
(1 results)
