Foundations of rigid geometry

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03161
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: リジッド幾何学 / 数論幾何学 / パーフェクトイド / 非アルキメデス的バナッハ環 / 平坦性

Outline of Annual Research Achievements

2021年度は主としてリジッド幾何学における平坦射について考察した. 先行研究においては常に射と底空間についての有限性が仮定されていたが, 射についての有限性のみを仮定することとし, そもそも平坦性が定義可能であるかどうかから見直し検討を行った. 理由としては P. Scholze が導入したパーフェクトイド空間を底空間とした議論を行うためで, 現代の数論幾何学で実際に必要とされる基礎を提供する必要から生じた問題である. この問題は基本的な問題であるが技術的に大きな困難がある. 例えば有限性の仮定の下では射は局所的には有限表示の形式スキームの射で代表されるが, naive な定義を与えてもそれが well-defined であることの確認すら難しい.
今年度の成果としては, 仮定した有限性の下で平坦性が定義され望ましい性質をもち, 射についての多くの概念が再定義されることを確認できたことが挙げられる. 特に syntomic 射が一般的に扱えることがわかった. この結果はエタール射やスムーズ射を特別な場合として含んでいるが, これらの場合にはより多くの基本的な性質をチェックすることが可能であり, 同値であるかどうか不明であった3つの定義 (P. Scholze によるもの, J, Ayoub によるもの, Jacobian 判定法)が一致することも確認される. これはこの研究計画の大きなモチベーションの一つであった.
平坦射の基本的性質については現在論文を執筆中である. 単独の論文として公表する予定であるが, 一部分は research monograph として発表する可能性があり, 基礎的事項を含めて2021 年度も執筆を継続する予定である.

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究計画の初期段階で解決を目指していたことのうち, 二つは達成できたと考えられるため.
一つはリジッド空間の射のエタール性の3つの定義 (P. Scholze によるもの, J, Ayoub によるもの, Jacobian 判定法)が一致することも確認したことである.
もう一つは (射の有限性の下での) 平坦性の定義を与えたことである.

Strategy for Future Research Activity

まだ成果を確立することに力点を置くが, 研究交流を通して応用も視野に入れていきたい.
成果公表も十分進んでいないので, その点にも注意して進めていきたい.
また, 研究の際に開発された手法が他分野, 例えば代数 K-理論の研究に使えるかなどの関係性も明らかにしたい.