Foundations of rigid geometry

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03161
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: リジッド幾何学 / 数論幾何学 / パーフェクトイド / 非アルキメデス的バナッハ環 / 平坦性

Outline of Annual Research Achievements

2022年度は前年度に引き続きリジッド幾何学の基礎的な問題を取り扱っている. この研究課題では特に平坦射の研究を重視しており, 前年度までの研究結果の執筆を中心に研究を続けている. 研究の途上, 平坦射について以下の問題が現れたので今年度は主としてその問題を考察することとなった.
リジッド幾何学においては形式スキームによる良いモデルをとり射に関する概念を定義することとなるが, 定義が well-defined であるためにはモデルを変更した際に再び良いモデルを選択できることを示す必要がある(blow up による不変性). 平坦射の場合の普遍性は正しいと予想され, ネーター性など強い有限性がある場合は解決済みであるが, 一般の場合は詳細を詰めている状況である.
また, 以上の平坦性に関する問題と直接関係するものではないが, スキームとその完備化上の連接層のなす圏の間の関係を記述する「存在定理」についても再検討を行った (加藤文元等との共同研究). 対となるものとして既に確立されている「比較定理」があり, 連接層を完備化する関手が充満忠実であることが従うが, 「存在定理」は関手が本質的に全射であること意味している. 以前に得られた結果を補足する内容であり, 現在使用できる枠組みの中では最も一般的なものとなる. またこの結論は発表済みのresearch monograph の内容を補うものとなっている. 現在発表準備中である.
研究体制としては2022年度から RA を雇用し, 得られた成果を楕円曲線などのモジュライスタックに適用する可能性について考察を進めている.

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

基本的な内容を確立する必要があるため慎重に論文を準備しているが, 想定より原稿が長くなり公表が遅れているため.
関連研究を同時に行なっているため内容としては進展している.

Strategy for Future Research Activity

前年度同様成果を確立することに力点を置くが, 研究交流を通して応用も視野に入れていきたい.
成果公表が十分進んでいないので, その点に注意して進めていきたい.

Causes of Carryover

予定していた出張を延期したことと, 海外から招聘予定の研究者の予定が合わず延期したことが挙げられる. このうち招聘分については 2023年度に招聘することで本差額がほぼ使用される予定である.