Foundations of rigid geometry

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03161
• Research Institution: Nagoya University
• Principal Investigator: 藤原 一宏 名古屋大学, 多元数理科学研究科, 教授 (00229064)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: リジッド幾何学 / 数論幾何学 / パーフェクトイド / 非アルキメデス的バナッハ環 / 平坦性

Outline of Annual Research Achievements

2023年度は前年度に引き続きリジッド幾何学の基礎的な問題を取り扱っている. この研究課題では特に平坦射の研究を重視している. 前年度までに形式スキームの射に対する Gruson-Raynaud 型定理 (底空間の blow up による良いモデルの存在)が平坦射の場合に得られていた. 今年度は始空間の blow up により平坦性がどう変化するかを主として考察した. この問題が解決すれば リジッド空間の射の平坦性が理想的な形で定義されることになるが, 完全な形での解決には至らなかった. 部分的な成果は得られているため, この方向の研究を継続したいと考えている. より具体的には, 完全交差の場合の Gruson-Raynaud 型定理が鍵を握っていると考えられるため, 完全交差射について既に得られている知見を元に発展させていけると期待している.
研究体制としては昨年度同様 RA を雇用し, 得られた成果を楕円曲線などの J. Lurie の意味でのモジュライスタックに適用する可能性についても考察を進めてきた. 楕円曲線のモジュライの cusp における挙動は, 古典的な場合では Tate curve 構成により作られた形式近傍の候補をモジュライに貼り合わせることでコンパクト化を構成し研究する手法がとられている.
この構成を Lurie の意味での derived algebraic geometry で行うにあたり, M. Artin の contraction theorem の類似が重要になるが, ここではリジッド幾何学におけるエタール射の理論が重要な手がかりを与えると考えている.
簡単ではあるが非自明なモデルであると考えているので, この方向の考察も続けていく予定である.

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

昨年度から公表準備を進めてきたが, 今年度は具体的な成果発表までに至らなかった.
準備は継続中であり, まず 2024年度に研究集会における発表を予定している.

Strategy for Future Research Activity

まだ成果公表が十分進んでいないので, その点に注意して進めていく.
2024年度には研究集会における発表を予定しているので, 具体的な進展があると考えている.

Causes of Carryover

大きな差額ではなく, 2024 年度に複数出張予定があったため旅費として繰り越した方がよいと判断した.