Representation theory of wild cyclotomic quiver Hecke algebras and the symmetric group

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03163
• Research Institution: Osaka University
• Principal Investigator: 有木 進 大阪大学, 情報科学研究科, 教授 (40212641)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: ヘッケ代数 / 暴表現型 / 分解行列

Outline of Annual Research Achievements

本年度はヘッケ代数の暴表現型のブロック代数に対する分解係数の理論の研究のための調査期間であり、Peng Shanが、複素数体上定義された変形シューア代数に対して、量子標数が3以上ならばワイル加群のJantzen filtrationの各次数に現れる組成因子が次数付分解係数で与えられることを示した論文や、Simon RicheとGeordie Williamsonによる代数群の傾加群とp-標準基底に関する論文を検討した。近年タウ傾理論が急速に発展しているが、研究代表者の発見した次数付分解係数の応用として、このShanの次数付分解係数に関する結果をもとに、任意の標数の代数閉体上定義されたA型ヘッケ代数のブロック代数のタウ傾無限性を判定することができる。すなわち、研究代表者は今年度ある条件をみたす次数付分解係数からA型ヘッケ代数のブロック代数のタウ傾無限性を示す手法を開発したので、Shanの結果は本研究計画にとってとくに有用である。またp-標準基底の考察も今後の本格的な分解係数の研究にとって必須である。他方で、A型ヘッケ代数のブロック代数の重みが4以下のときはJames予想が成立していることがMatthew Fayersの研究により知られており、さらに重みが2と3のときはMatthew FayersとKai Meng TanがJames予想が成り立たない場合、すなわち基礎体の標数が2や3の場合にヘッケ代数のブロック代数の分解係数も決定している。そこで、Matthew FayersとKai Meng Tanの論文も検討した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

本年度開催予定だった国際集会はcovid-19のため中止になり、オンライン開催の研究集会も所属機関での日常業務がある状況では必ずしも参加可能ではなかったため、当初の計画であった研究集会参加による対面での討論等を通じた知見の獲得等は実現できなかったが、文献調査を中心に初年度の研究計画をおおむね実施することができた点で、大きな研究計画の遅れはなかったと思われる。

Strategy for Future Research Activity

今年度夏以降には海外出張も可能であると期待する。すでにOberwolfachのワークショップやSingaporeでの国際集会に招待されているので、この機会に対面での討論や知見獲得により分解係数の研究に関する新たな突破口を見出したい。他方、次数付分解係数のタウ傾有限性判定への応用を見出したので、g-tame性の判定も可能かどうかを検討したい。

Causes of Carryover

covid-19が収束しないため、組織委員である沖縄科学技術大学院大学で2021年12月に開催予定だった国際研究集会の中止、その他計画していた国際研究集会への参加や研究討論のための研究者招へいなど、出張の多くが中止となったため。