2021 Fiscal Year Research-status Report
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21K03164
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| Research Institution | Kobe University |
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Principal Investigator |
森本 和輝 神戸大学, 理学研究科, 准教授 (20725254)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 保型形式の周期 / 保型L関数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
LapidとMaoにより予想されたU(2n)のWhittaker周期の明示公式は、ある局所等式の証明へと還元されていた。これまでの研究で非分裂非アルキメデス素点ではその局所等式は証明できていた。今年度の成果として、分裂非アルキメデス素点において、非分裂の場合と同様に適当なモデルの変換公式を証明することで、この局所等式を証明した。さらに、分裂アルキメデス素点で、Beuzart-PlessisによるGL(n)のtempered表現の大域化についての結果を用いることで、局所等式をGL(2n)の場合のWhittaker周期の明示公式へと帰着できることがわかった。この場合の明示公式はLapidとMaoにより証明されており、結果として分裂アルキメデス素点において局所等式を証明することができた。これらの結果から、非分裂実素点においてdiscrete seriesという仮定の下で、Whittaker周期の明示公式を証明することができた。特に、基礎体がtotally imginaryの場合には、任意のカスピダル保型表現について明示公式が証明できたことになる。さらに、この結果と古澤昌秋(大阪公立大)との共同研究で得た結果を組み合わせることにより、同様の仮定の下でtemperedなカスピダル保型表現に関して、(U(2n), U(1))の場合の精密化Gan-Gross-Prasad予想を証明することができた。また、U(2n+1)の場合のWhittaker周期の明示公式を証明するために、U(2n)との間のテータ対応を考察し、U(2n)のWhittaker周期がU(2n+1)のWhittaker周期へと移ることがわかった。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
分裂非アルキメデス素点でのモデルの変換公式は、非分裂の場合の類似ではありそれほど時間が掛からず完成すると思われたが、指標やその捻りを適当に選ぶ必要があり想定よりも多くの時間を要した。一方で、アルキメデス素点での局所等式も同時に証明できたことは大きな進展である。
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| Strategy for Future Research Activity |
次の二つの問題をテータ対応を用いることで考えたい。
(1) U(2n+1)のWhittaker周期の明示公式
(2) U(2n)の場合の非分裂実素点での局所等式の証明
(1)については、U(2n-1)からU(2n+1))へのテータ対応に関してWhittaker周期がどの様に移るか考察する。(2)については、(1)の結果に局所成分の適当な大域化を組み合わせることにより取り組む。
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| Causes of Carryover |
コロナウイルス蔓延の影響により、研究集会がオンラインでの開催となったため次年度使用額が生じた。最近の状況を鑑みると、次年度には研究集会への現地参加が可能であると思われるため、その出張費に多くを使用したい。また、図書(雑誌を含む)の購入にも残額を使用したい。
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