2022 Fiscal Year Research-status Report
Study on local functional equations form representation theory and geometry
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21K03169
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| Research Institution | Josai University |
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Principal Investigator |
小木曽 岳義 城西大学, 理学部, 教授 (20282296)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
佐藤 文広 立教大学, 名誉教授, 名誉教授 (20120884)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 局所関数等式 / 概均質ベクトル空間 / ゼータ超関数 / 双曲幾何 / クラスター代数 / F-多項式 / Markov数 / Lie環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
局所関数等式を満たす多項式のペアを見つけることは整数論、表現論双方の分野で重要である。正則概均質ベクトル空間の非退化な相対不変多項式とその双対の概均質ベクトル空間の、同じ有理指標に対応する相対不変多項式のペアは局所関数等式を満たすことが佐藤幹夫氏、多変数の場合は佐藤文広氏により見つけられている。そのため, 今までの研究で,まだ明示的に概均質ベクトル空間の相対不変の形が分かっていないものについて,その明示的な構成を行うなどの研究を続けて来た. 具体的には,佐藤幹夫氏と木村達雄氏によって既約正則概均質ベクトル空間が分類され, その相対不変式が一部を除いて構成されていたが, その残りのうち40次元のカスピダル型のholonomy図形が最も複雑な空間の相対不変を明示的に写像の合成によって構成した.一方、2008年に佐藤文広氏と報告者(小木曽)の共同研究で、Clifford代数の表現から構成した4次形式Clifford Quartic formsは非概均質的多項式であるにも関わらず局所関数等式を満たすことが示されていて、Clifford Quartic formに付随する空間も分類されている.上記のことから局所関数等式を満たす多項式を概均質,非概均質を含む形で特徴付ける必要があり,それに向けての研究を多角形の双曲幾何, クラスター代数と関係する三角形分割についてそれをグラフと見た場合の3次多項式の研究を当初していたが, 途中から研究に中島秀斗氏が加わり, 中島秀斗氏のアイデアで, 多角形の三角形分割をさらに一般化した「三角形配置」に付随する3次多項式の概均質性の研究をおこない, 研究成果を論文arXiv:2210.10467にまとめた.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
局所関数等式を満たす多項式を概均質,非概均質を含む形で特徴付ける必要があり,それに向けての研究を多角形の双曲幾何, クラスター代数と関係する三角形分割についてそれをグラフと見た場合の3次多項式の研究を当初していたが, 途中から研究に中島秀斗氏が加わり, 中島秀斗氏のアイデアで, 多角形の三角形分割をさらに一般化した「三角形配置」に付随する3次多項式の概均質性の研究をおこない, 研究成果を2022年度表現論シンポジウム概説講演で講演をし, 論文arXiv:2210.10467にまとめて発表している.
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| Strategy for Future Research Activity |
今後三角形配置に関する3次多項式の研究として, 三角形配置に付随する3次斉次多項式が概均質的か非概均質的かをある程度判定しているが, 非概均質的多項式である場合にhomaloidal多項式である場合があり, その場合には局所関数等式を持つので, その判定をなんとか行いたいと考えている. 概均質性の判定法の手法は分かっているが、homaloidalityの判定法が未だ分かっておらず, それを明らかにしてhomaloidalityの判定も今後行っていきたい.また三角形配置の図形の形が概均質性に反映されているが,その理論的根拠を明らかにし, 幾何学的観点からの概均質性の考察につなげたい.
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| Causes of Carryover |
COVID-19による渡航制限が少し緩やかになったものの, 未だ戦争などの影響により今までのように欧州や米国に行きにくくなったため海外で対面で行われる研究集会等がオンラインで行われるなどして海外渡航をする機会が減ったため。
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