2022 Fiscal Year Research-status Report
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21K03172
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| Research Institution | Tokyo City University |
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Principal Investigator |
田邊 顕一朗 東京都市大学, 共通教育部, 教授 (10334038)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2024-03-31
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| Keywords | 頂点代数 / 加群 / 自己同型群 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
頂点代数上の加群について研究した．頂点代数の有限位数の自己同型群を考え，それによって固定される固定部分代数の加群を扱った．頂点代数が単純な場合は，固定部分代数の既約加群は，既約ツイステッド加群の部分加群になることが，頂点作用素代数での結果の類似として予測される．その問題の出発点として，もとの頂点代数の既約ツイステッド加群は固定部分代数の加群として完全可約であるか？ということが自然に問題になる．頂点作用素代数上のツイステッド加群に関しては，この問題はドン-ヤンスクルナによる部分的解決をへて，宮本と筆者によって2004年に完全に解決されている．しかしながら，頂点代数上のツイステッド加群については，次数付けの条件を課さないことから，同じ方法を適用することは出来ない．筆者は，筆者自身によって以前導入された(V,T)加群を用いて，可算次元を持つ単純な頂点代数に対して，頂点代数上の既約ツイステッド加群が固定部分代数の加群として完全可約であることを示すことが出来た．鍵となる結果は，(V,T)加群への頂点代数Vの作用が，ある種の結合法則を満たすことを示すことである．この作用の結合法則は，ツイステッド加群に対してはよく知られているものであるが，(V,T)加群について証明することはこれまで出来ていなかった．一旦この作用の結合法則が分かってしまえば，残りの部分はドン-レン-ヤンの結果を用いて直ちに証明することが出来る．結果としてもとの頂点作用素代数上のツイステッド加群の場合を大きく拡張し，かつ非常にすっきりした見通しのよい証明を与えることが出来た．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
頂点代数の既約ツイステッド加群は固定部分代数の加群として完全可約であることを示すことが出来た．これは予期せぬ進展である．
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| Strategy for Future Research Activity |
頂点代数上の加群の拡張を行い，テンソル積やツイステッド加群を統一的に扱うことが出来るようにする．
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| Causes of Carryover |
所属機関を変更したため，予定していた旅費が少なくてすんだため．研究課題に関連する代数および組合せ論関連の書籍購入に使用する予定である．
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