超距離体上の特殊関数の研究とその応用

2021 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03175
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 松田 茂樹 千葉大学, 統合情報センター, 准教授 (90272301)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: p進解析 / Wittベクトル / π指数関数

Outline of Annual Research Achievements

数論においては、有理関数の通常の距離についての完備化である実数体だけでなく、各素数ｐについてのｐ進距離についての完備化であるｐ進体についての理論が大切になる。ｐ進体に定まる距離は一般に超距離と呼ばれるものである。
本研究では古典的にはｐ進体の構成等に使われているＷｉｔｔ環の理論を一般化し、正標数の場合を含む超距離について完備な体である超距離体の上での解析学に応用することを目的にしている。今年度は当初の研究計画にしたがい、この一般化されたＷｉｔｔ環の理論についての、Ｗｉｔｔ余ベクトルのなす加群およびＷｉｔｔ双ベクトルのなす環を構成し、その基本的な性質を調べた。結果として予想される古典的な定理の類似の性質の多くが一般化されたものについても成立することが確かめられた。これによりＤｒｉｎｆｅｌｄ加群へのＷｉｔｔ環の理論の応用が期待される。
更にＤｗｏｒｋ指数関数を用いた加法指標の構成を一般化されたＷｉｔｔベクトルを用いたパイ指数関数の場合に拡張できるかを考察した。こちらはまだ確認すべきことが残っているが、いくつかの一般化が可能であることがわかってきた。
またＢａｌｄａｓｓａｒｒｉによりｐ進フーリエ解析の研究に導入されたプサイ関数について、一般化されたＷｉｔｔ環の理論を用いた拡張を考察し、どのような条件の下で定義ができるか調べた。またその基本的な性質について成立するための条件についても調べた。こちらについてもおおよそ予想された結果が成立することが確かめられた。

Current Status of Research Progress

2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.

Reason

研究実施計画に記した事柄の多くがほぼ予想通りの形で成立することを確認できた。

Strategy for Future Research Activity

応用の手段を拡げるために、Ｗｉｔｔ環の理論の高次元化を考察する。具体的には、Ｈａｚｅｗｉｎｋｅｌにより形式群の高次元化に使われた関数等式の補題の高次元版を用いて定義を一般化する。これにより例えば多変数のパイ指数関数を直接構成し、その性質を調べることが可能になると思われる。

Causes of Carryover

コロナ禍で旅費の使用がなかったことと物品費が想定よりも若干少なかったため。物品費として使用する予定。