超距離体上の特殊関数の研究とその応用

2023 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03175
• Research Institution: Chiba University
• Principal Investigator: 松田 茂樹 千葉大学, 情報戦略機構, 准教授 (90272301)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2026-03-31
• Keywords: p進解析 / Wittベクトル

Outline of Annual Research Achievements

数論においては、有理数体の通常の距離についての完備化である実数体だけでなく、各素数ｐについてのｐ進距離についての完備化であるｐ進体についての理論が大切になる。ｐ進体に定まる距離は一般に超距離と呼ばれるものである。
本研究では古典的にはｐ進体の構成等に使われているＷｉｔｔ環の理論を一般化し、正標数の場合を含む超距離について完備な体である超距離体の上での解析学に応用することを目的にしている。昨年度は一般化されたＷｉｔｔ環の理論についての、Ｗｉｔｔ余ベクトルのなす加群およびＷｉｔｔ双ベクトルのなす環を用いて、できるだけ一般的な枠組みの中でＢａｌｄａｓｓａｒｒｉによりｐ進フーリエ解析の研究に導入されたプサイ関数の拡張の構成について、解析関数としての拡張ではなく連続関数であって双Ｗｉｔｔ環についてある性質を満たすものとして一般化することで、よい性質を持つものが一意的に定まるという観察を得た。今年度はこの観察を踏まえて、プサイ関数の一般化をきちんと定義し、どのような場合にＢａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数と一致するか、また一般化した際に満たす性質がどのような場合に一致し、どのような場合に異なるかを詳しく調べた。結果として、Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉがフーリエ変換について行ったプサイ関数の応用の一部を一般化することができた。
また昨年度に定式化した高次元のＷｉｔｔベクトルの考察も行った。昨年度の研究で非可換環のＷｉｔｔ環を考える必要性が確認できたので、古典的なＷｉｔｔ環の非可換環への拡張の研究について知られている結果について調査した。特にＨｅｓｓｅｌｈｏｌｔやＫａｌｅｄｉｎの研究が参考になることを確認した。

Current Status of Research Progress

3: Progress in research has been slightly delayed.

Reason

Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数の一般化について、確認しなければいけない事項が多かったことと、その性質の一般化ができる正確な条件を見極めることに時間がかかったことで、Ｗｉｔｔ環の理論の高次元化についての考察の方に遅れがでている。

Strategy for Future Research Activity

Ｂａｌｄａｓｓａｒｒｉのプサイ関数の一般化のフーリエ変換の理論への応用について、例の構成も含めて発展させる。特に有限体係数の場合に測度論との関係を深く考察する。
また高次元の、つまり多変数のＷｉｔｔ環については、ＨｅｓｓｅｌｈｏｌｔやＫａｌｅｄｉｎによる非可換環のＷｉｔｔ環の研究と、一般化されたＷｉｔｔ環の高次元への拡張との関係について考察することで, 理論を発展させる。

Causes of Carryover

物品費の使用が想定よりも少なかったため。
次年度の物品費ないし旅費として使用する予定である。