アフィン超リー代数の狭ヴァーマ加群の構造解明およびワイル亜群との関連

2022 Fiscal Year Research-status Report

• Project/Area Number: 21K03177
• Research Institution: University of Fukui
• Principal Investigator: 古閑 義之 福井大学, 学術研究院工学系部門, 教授 (20338429)
• Project Period (FY): 2021-04-01 – 2024-03-31
• Keywords: アフィン超リー代数 / ワイル亜群

Outline of Annual Research Achievements

本研究課題では、アフィン超リー代数のある特別なタイプの一般化されたヴァーマ加群である狭ヴァーマ加群の構造を主な対象としている。令和4年度までに sl(n,1)型アフィン超リー代数の可積分最高ウェイトの場合に、その構造を調べ、その結果としてBGGレゾリューションを構成した。本年度は、sl(n,1)型の次に構造の簡明なsl(2,2)型のアフィン超リー代数の構造を調べることを予定していた。
sl(2,2)型のアフィン超リー代数の場合、狭ヴァーマ加群の構造を記述する奇鏡映が、sl(n,1)型の場合と比較して複雑である。この問題を解決するため、最初にsl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合の狭ヴァーマ加群の構造を調べることとした。その結果、これまでに知られていなかった新たな狭ヴァーマ加群の同型を得ることができ、それを用いて,sl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合にはBGGレゾリューションを構成した。この研究には, sl(2,2)型の超リー代数の交換関係を用いた計算が必要となるため、その計算処理を自動化するためのプログラム作成も行なった。
sl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合を調べた結果、sl(n,1)型の場合と異なり、狭ヴァーマ加群の部分加群として、必ずしも狭ヴァーマ加群でないものが現れるという困難が明らかになった。本年度はこの困難の完全な解消には至っておらず、令和5年度はこの点について引き続き研究を行う。
なお本研究は、福井大学の松本拓也氏との共同研究として実施した。

Current Status of Research Progress

4: Progress in research has been delayed.

Reason

本研究課題の申請の段階では, sl(2,2)型のアフィン超リー代数の狭ヴァーマ加群の研究を令和4年度までに終了する計画であった。しかしながら、参考とするために計算を実行したsl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の狭ヴァーマ加群の構造に関して、研究実績の概要欄で説明した困難が生じた。この困難は、申請の段階では予想していなかったため、研究計画には遅れが生じている。令和5年度もsl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の場合の研究を継続する。

Strategy for Future Research Activity

有限次元のsl(2,2)型の超リー代数の狭ヴァーマ加群の研究については、福井大学の松本拓也氏との共同研究として遂行する。
令和4年度に作成したsl(2,2)型の有限次元単純超リー代数の交換関係などを自動計算するプログラムをもとに、狭ヴァーマ加群の特異ベクトルなどを計算し、今後の研究に参考となるデータ収集も同時に行う。

Causes of Carryover

令和4年度前半に予定していた研究集会がコロナの影響で参加者が少なく、予定していた額の経費を使用しなかった。また研究が当初の計画より遅れていることもあり、研究打ち合わせのための旅費も使用できていない。今年度は、その分を上記のプログラムを実行させる計算機の環境や数式処理ソフトを強化することにも使用する計画である。