2023 Fiscal Year Research-status Report
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21K03180
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| Research Institution | Kyoto University |
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Principal Investigator |
大川 領 京都大学, 数理解析研究所, 研究員 (00637100)
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| Co-Investigator(Kenkyū-buntansha) |
白石 潤一 東京大学, 大学院数理科学研究科, 准教授 (20272536)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 壁越え公式 / K理論 / 多重超幾何級数 / アフィンLaumon分配関数 / Grothendieck多項式 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
これまで個別の問題ごとに導出していた壁越え公式を枠付き箙という設定でまとめた. その興味深い応用として旗多様体上の同変積分の計算を実行し, Grothendieck多項式の行列式公式を得た. この具体例では技術的な複雑さが解消されるため, コホモロジーだけでなくK理論版の計算も行った.
これを元にして, さらに白石氏との共同研究ではK理論版の壁越え公式を一般的な枠付き箙の設定でまとめた. 特にA_1型のハンドソー箙多様体上のK理論的積分から梶原-野海の基本多重超幾何級数が得られので, その積分に壁越え公式を応用することで梶原変換公式の再証明を与えた.
粟田氏, 菅野氏, 長谷川氏, Shakirov氏, 白石氏, 山田氏との共同研究ではVI型Painleve方程式のq差分量子化であるShakirov方程式の解がアフィンLaumon空間上の積分から定まる分配関数により与えられることを示した. 証明はKZ方程式のJackson積分解と同定することで与えたが, 今後は壁越え公式との関係を追求したい, さらに茂木氏との共同研究では, 梶原変換公式の梶原氏による元々の証明に用いられたソース恒等式を, 特殊な枠付き箙に対する壁越え公式から導出した.
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
当初目標としていたマクドナルド関数については, A_1型の場合に関数等式を示した. また, アフィンLaumon分配関数については関数等式の予想を述べた. 残りの年度で, この予想の証明を与え, Nekrasov関数の関数等式へと研究を進める. また, VI型Painleve方程式とアフィンLaumon分配関数との関係も明らかになりつつある. これをさらに進めてPainleve τ関数の関数等式へと研究を進める. これらの状況は当初の計画に対して概ね順調に進んでいる.
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| Strategy for Future Research Activity |
K理論版の壁越え公式を応用として, 爆発公式の拡張を行う. 中島氏と吉岡氏による先行研究ではP^2の一点爆発が調べられたが, P^2に群作用をつけた軌道多様体の一点爆発に対する爆発公式を壁越え公式から導出する. まずは階数1の連接層のモジュライ上で随伴物質場理論の分配関数を考え, 先行研究の拡張を行う. 白石氏はこの場合に梶原変換公式を用いて上記の予想を証明している. その議論との比較を行うことで, 爆発公式による予想へのアプローチを試みる.
また、茂木氏との共同研究では, 積分理論をさらに楕円コホモロジーの枠組みに深化させ, そこでの壁越え公式の導出に取り組む.
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| Causes of Carryover |
当該年度は, 論文や講演発表などが多く、資料や物品の購入を控えたため次年度使用額が生じた. 使用計画として, 専門書籍等の資料の購入, Mathematicaなど計算ソフトの購入, PCの購入等を考えている.
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