2021 Fiscal Year Research-status Report
保型微分方程式の視点からの保型形式・準保型形式と頂点作用素代数の対応に関する研究
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21K03183
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| Research Institution | Kyushu University |
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Principal Investigator |
境 優一 九州大学, 多重ゼータ研究センター, 学術研究員 (10815567)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2025-03-31
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| Keywords | 保型線形微分方程式 / モジュラー形式 / 準モジュラー形式 / 頂点作用素代数 / 指標関数 / ヤコビ形式 / W代数 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本年度は，本補助事業を開始するにあたっての環境整備を行った．特に，保型形式と頂点作用素代数との対応関係，または，保型線形微分方程式との関係について，これまでに得られた知見を整理・再考察を行った．研究実施においては，以下のことに注力した．
(1) 中心電荷が２４，かつ指標関数の張る空間が４次元となる場合のVOAについて，共形ウェイトの候補が有限個しかないことを示し，それらに対応するVOAが存在するか否かを量子次元(quantum dimension)や大域次元(global dimension)の計算によって分類した．これは，大阪大学・永友清和氏と華東師範大学・X. Jiao氏との共同研究である．
(2) ある頂点作用素超代数に関して，指標関数が２階の保型線形微分方程式の解となり，かつ，準モジュラー形式(quasimodular forms)を含むものがあるが，これが，深さ１のextremal な準モジュラー形式と同値なものであることを証明した．さらに，準モジュラー形式を指標関数として持つような２階の保型線形微分方程式について，部分的な条件を導出することができた．これは，大阪大学・永友清和氏と鹿児島大学・有家雄介氏との共同研究である．
(3) 一般化した保型線形微分方程式に関して，Rankin-Cohen括弧積に関する代数系として解釈できることや，ある種の母関数として概正則保型形式が扱えることなどを発見した．これは，大阪大学・永友清和氏とマックスプランク研究所・D.Zagier氏との共同研究である．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
頂点作用素代数と保型形式との関係について，これまでの知見の再整備により，理論的な対応は徐々に得られていると考える．また，計算機を用いての数値実験等により，頂点作用素代数の指標関数や保型形式の対応関係については予想などについて比較的容易に考察が行えている状況であると考える．
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| Strategy for Future Research Activity |
頂点作用素超代数と保型形式との対応関係について，保型線形微分方程式を用いて条件を具体的に記述し，それら条件についての考察を行う．これらの考察については具体例を用いて行う．また，W代数との対応についても，具体例などを用いて，保型線形微分方程式を満たす場合の条件を考察することとする．
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| Causes of Carryover |
新型コロナ肺炎の影響により，研究集会参加や研究打ち合わせ等での出張がほとんど行えなかったため当初予定していたものと異なった．
翌年度への持ち越し金について，新型コロナ肺炎の感染状況により変化する可能性はあるが，研究集会の参加や研究打ち合わせ実施において，通常移動が可能なものについては参加し，また，オンライン形式のみの場合についても通信環境を再整備し参加できるよう対応する. これらの対応策により今年度実施不可能であったことを含め，本事業の使用計画においての範疇で適切に使用できる見込みである.
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