2021 Fiscal Year Research-status Report
Orbits on flag varieties and their combinatorics
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21K03184
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| Research Institution | Aoyama Gakuin University |
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Principal Investigator |
西山 享 青山学院大学, 理工学部, 教授 (70183085)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | 二重旗多様体 / 余法束多様体 / RSK対応 / 冪零多様体 / モーメント写像 / ヘッケ環 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
本課題では旗多様体の直積である二重旗多様体 X への球部分群 K の作用が主要な研究対象である．
二重旗多様体 X の余法束は自然なシンプレクティック多様体の構造を持つが K の作用に付隨して余法束のラグランジュ部分多様体である Steinberg多様体（余法束多様体）が決まり，そのモーメント写像による像は exotic な冪零多様体になる．また余法束多様体の既約成分は X 上の K 軌道と対応しており，軌道空間にしても冪零多様体の構造にしても，それらが組合せ論の豊かな背景を持っていることはよく知られている．たとえば Bruhat 分解や Robinson-Schensted-Knuth 対応といったワイル群やヤング図形を用いた組合せ論がその例である．
現在二重旗多様体上の K 軌道の組合せ論的記述を L.Fresse (Univ. Lorraine, IECL) とともに研究中である．AIII 型の対称空間の場合には以前の研究課題においてかなりの成果が上がっているが，一般の二重旗多様体では K 軌道の分類さえ簡単ではない．そこで，軌道の分類や Steinberg 写像の記述をルート系を用いて記述することを考えている．研究はコロナ感染症のパンデミックのために滞りがちであるが，Fresse 教授とはオンラインのセミナーを継続的に行っており，軌道の閉包関係をワイル群の単純鏡映を用いて書くこと，および，ヘッケ環の作用を単純鏡映を用いて表すなど，試行錯誤を繰り返している．現状では，研究成果は部分的なものにとどまっており，今年度（2022年度）の研究でさらに内容を深めることを考えている．
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
3: Progress in research has been slightly delayed.
Reason
コロナ感染症によるパンデミックのため，国内外の研究集会への参加，海外からの研究者の招聘がほぼ不可能となってしまった．オンラインのセミナーを行うことは可能であるが，詳細な討論をするには困難が大きく，とくに研究の初期段階ではなかなか思ったように研究が進まなかった．これが主な理由である．一方，前研究課題に関する結果はまとまりつつあり，この研究結果を利用できるメリットは大きい．これから研究が順調に進むのではないかと期待している．
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| Strategy for Future Research Activity |
AIII型の対称対に関する Steinberg 理論の具体的な記述が前研究課題で得られた．ところが前研究課題の結果はAIII型に特有の性質とグラフ理論や組合せ論の非常に具体的なデータを用いて記述されている．そこでこのAIII型における記述や組合せ論的な議論を抽象的かつ一般的なルート系の概念と言葉で再度書き直すことを考えたい．また，他の型の対称対を考えることは抽象的かつ一般的な枠組みを理解するには有効であり，CI型の対称対に関する理論も平行して考えたい．CI型の対称対は AIII 型に埋め込むことができ，CI 型の対称対の Steinberg 理論を考えるのに AIII 型の理論で得られた結果を応用することができる．逆に CI 型の理論から AIII 型の結果を見直すことも有効な方法論であると考えている．
コロナ感染症のパンデミックが何時どのような形で収束するかは不明であるが，状況を見つつ，国際集会での発表や国際共同研究などを進めていきたい．
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| Causes of Carryover |
コロナウィルスの感染拡大・パンデミックによるセミナーの中止，招聘事業の延期などを余儀なくされたことが理由である．
本年度もコロナウィルスの感染については十分な注意を払わねばならないので使用計画については現状を的確に把握して決定する．実際に招聘などが行えない場合にはオンラインの会議用のパソコンや，デジタル形式のノート用機器，ソフトウェアの購入などを検討する．
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