2023 Fiscal Year Research-status Report
Research on rational points on moduli spaces over global fields
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21K03187
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| Research Institution | Tokyo Denki University |
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Principal Investigator |
新井 啓介 東京電機大学, 未来科学部, 教授 (80422393)
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| Project Period (FY) |
2021-04-01 – 2026-03-31
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| Keywords | D-elliptic sheaf / モジュライ / 有理点 |
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| Outline of Annual Research Achievements |
数論の分野では、楕円曲線やアーベル多様体は、代数的な観点からも幾何的な観点からも重要な研究対象である。また、代数体は関数体とよく類似していることが知られている。楕円曲線の関数体類似としてDrinfeld加群やelliptic sheafがあり、それらはよく似たガロア表現をもつ。また、QMアーベル曲面とD-elliptic sheafの類似も知られている。本研究は、特にQMアーベル曲面やD-elliptic sheafとの関連が深い。
本研究では今年度、D-elliptic sheafのモジュライの関数体上の有理点を決定することを目標に研究を行った。D-elliptic sheafから定まるガロア表現の像は、中心斜体Dの作用により、特殊な形状になる。その形状を群論的に解析し、指標の分類と組み合わせることにより、モジュライの有理点を調べることが可能となっている。D-elliptic sheafのレベルが複雑なとき、または特殊な条件下において、有理点が存在しない、あるいは自明な元のみから成る、という結果が期待される。
今回は、関数体側において、D-elliptic sheafの自己準同型や自己同型、D-elliptic sheafに附随するガロア表現や指標の局所的な振る舞い、有理点の定義体、およびD-elliptic sheafのモジュライの数論的性質を詳しく調べた。また、計算機を用いた数値計算を行い、Drinfeld-Stuhler曲線の局所体上の有理点の存在を様々な場合に調べた。そして、Drinfeld-Stuhler曲線の関数体上の有理点の非存在やハッセ原理の反例に関する重要な手がかりを得た。
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| Current Status of Research Progress |
Current Status of Research Progress
2: Research has progressed on the whole more than it was originally planned.
Reason
関数体側の基礎的な理論の部分で、問題が概ね解決したから。
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| Strategy for Future Research Activity |
D-elliptic sheafやそのモジュライに関して得た知見をもとに、関数体側の有理点やハッセ原理の反例を調べる。さらに、それらを手がかりにして、代数体側の進展も目指す。
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| Causes of Carryover |
物品費、人件費・謝金の支出が少なかったため。
パソコン関連物品の購入、書籍の購入、文具類の購入、旅費、人件費等に使用する予定。
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